基于 Shift 操作的可行解构造

一、Shift 操作的核心思想

1.1 问题背景

在时刻 $k$，MPC 求解优化问题得到最优控制序列：

$$U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$$

在时刻 $k+1$，需要重新求解优化问题。问题是：

• 如何构造时刻 $k+1$ 的一个可行解？
• 这个可行解可用于证明递归可行性和稳定性

1.2 Shift 操作的定义

Shift 操作：将时刻 $k$ 的最优序列”平移”，并在末尾添加终端控制律，构造时刻 $k+1$ 的候选解：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },u_{N|k}^{\text{term}}\}$$

其中终端控制输入：

$$u_{N|k}^{\text{term}}=-K{x}_{N|k}^{\ast }$$

$K$ 是终端控制律增益（通常取 LQR 增益 $K_{\infty }$）。

---

二、Shift 解的可行性分析

2.1 假设条件

假设：

1. 时刻 $k$ 的问题可行，最优解为 $U_k^{\ast }$
2. 终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集
3. 终端控制律 $u=-Kx$ 满足：
   • $(A-BK)x\in {\mathcal{X}}_f,\forall x\in {\mathcal{X}}_f$
   • $-Kx\in \mathcal{U},\forall x\in {\mathcal{X}}_f$

2.2 可行性定理

定理：在上述假设下，Shift 构造的序列 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 是时刻 $k+1$ 的可行解。

2.3 证明

证明：需要验证 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 满足所有约束。

步骤 1：状态约束验证

对于 $i=0,\dots ,N-1$：

$${\tilde{x}}_{i|k+1}=x_{i+1|k}^{\ast }\in \mathcal{X}$$

（因为 $X_k^{\ast }$ 可行）

对于 $i=N$（终端状态）：

$${\tilde{x}}_{N|k+1}=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f\subseteq \mathcal{X}$$

（因为 ${\mathcal{X}}_f$ 是不变集且 ${\mathcal{X}}_f\subseteq \mathcal{X}$）

步骤 2：输入约束验证

对于 $i=0,\dots ,N-2$：

$${\tilde{u}}_{i|k+1}=u_{i+1|k}^{\ast }\in \mathcal{U}$$

（因为 $U_k^{\ast }$ 可行）

对于 $i=N-1$（终端控制）：

$${\tilde{u}}_{N-1|k+1}=-K{x}_{N|k}^{\ast }\in \mathcal{U}$$

（因为 $x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$ 且终端控制律满足输入约束）

步骤 3：终端约束验证

$${\tilde{x}}_{N|k+1}=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$$

（因为 ${\mathcal{X}}_f$ 是不变集）

证毕。

---

三、Shift 解的最优性

3.1 无约束情况

命题：在无约束情况下，Shift 构造的序列 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 是时刻 $k+1$ 的最优解。

原因：

• 无约束 LQR 的最优控制律是时不变的：$u^{\ast }(k)=-K_{\infty }x(k)$
• Shift 后的序列正是这个控制律的应用

3.2 有约束情况

命题：在有约束情况下，Shift 构造的序列 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 是时刻 $k+1$ 的可行解，但不一定是最优解。

关系：

$$J^{\ast }(x(k+1))\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$$

这个不等式是 MPC 稳定性证明的关键。

3.3 最优性损失分析

最优性损失（suboptimality）：

$$\Delta J=J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k+1))\ge 0$$

$\Delta J$ 的大小取决于：

• 约束的活跃程度
• 终端集的大小
• 预测时域 $N$

---

四、Shift 操作的应用

4.1 递归可行性证明

Shift 操作是证明递归可行性的核心工具：

证明思路：

1. 假设时刻 $k$ 可行（存在 $U_k^{\ast }$）
2. 用 Shift 构造 ${\tilde{U}}_{k+1}$
3. 证明 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 是时刻 $k+1$ 的可行解
4. 因此时刻 $k+1$ 可行

结论：若初始状态可行，则所有后续时刻都可行。

4.2 稳定性证明

Shift 操作用于证明最优值函数的单调下降性：

$$\begin{array}{rl}{J}^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))& \le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))\\ & =-x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)+\text{终端项变化}\\ & \le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)(\text{若终端设计合适})\\ & <0(\text{当 }x(k)\ne 0)\end{array}$$

4.3 热启动 (Warm Start)

在数值优化中，Shift 解可作为初始猜测：

$$U_{k+1}^{(0)}={\tilde{U}}_{k+1}$$

优势：

• 加速优化收敛
• 减少迭代次数
• 特别适合实时 MPC

---

五、Shift 操作的变体

5.1 完整 Shift

标准的 Shift 操作（如上所述）：

• 平移整个序列
• 添加终端控制律

5.2 部分 Shift

仅平移部分序列（用于 $N_u<N$ 的情况）：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N_u-1|k}^{\ast },0,\dots ,0,-K{x}_{N|k}^{\ast }\}$$

5.3 带校正的 Shift

当存在扰动或模型失配时，添加校正项：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast }+K_{\text{fb}}(x(k+1)-x_{1|k}^{\ast }),\dots \}$$

---

六、示例：二阶系统 Shift

6.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$

约束：$|x_1|\le 1,|x_2|\le 10,|u|\le 1$

6.2 时刻 $k=0$

初始状态 $x(0)=[0.5,2{]}^{\top }$，最优解：

$$U_0^{\ast }=\{[-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0{]}^{\top },\dots \}$$ $$X_0^{\ast }=\{x(0),[0.3,1.5{]}^{\top },[0.15,0.9{]}^{\top },\dots ,x_{5|0}^{\ast }\}$$

6.3 时刻 $k=1$

实际状态 $x(1)=[0.3,1.5{]}^{\top }$，Shift 构造：

$${\tilde{U}}_1=\{[-0.6,-0.4,-0.2,0,-K{x}_{5|0}^{\ast }{]}^{\top }\}$$

验证：${\tilde{U}}_1$ 满足所有约束，是可行解。

---

七、总结

概念	说明
Shift 操作	平移上一时刻最优解并添加终端控制律
可行性	若终端集是不变集，Shift 解可行
最优性	无约束时最优，有约束时次优
应用	递归可行性证明、稳定性证明、热启动

相关内容

滚动时域执行见 01-滚动时域执行策略 RHO 递归可行性见 03-递归可行性的初步概念 State Shift 原理（无约束）见 01-滚动时域下的状态平移原理

---

更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本