滚动时域执行策略 (RHO)

一、滚动时域原理

1.1 基本思想

滚动时域优化 (Receding Horizon Optimization, RHO) 是 MPC 的核心执行策略：

1. 在每个采样时刻 $k$，基于当前状态 $x(k)$ 求解有限时域优化问题
2. 得到最优控制序列 $U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$
3. 仅实施第一步控制 $u(k)=u_{0|k}^{\ast }$
4. 在下一时刻 $k+1$，测量新状态 $x(k+1)$，重复上述过程

1.2 与开环优化的区别

特性	开环优化	滚动时域 (RHO)
信息使用	仅用 $x(0)$	每步更新 $x(k)$
控制序列	实施全部 $N$ 步	仅实施第 1 步
反馈特性	无反馈	隐式状态反馈
抗扰性	无	有（通过状态更新）

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二、MPC 算法流程

2.1 在线算法

算法：MPC 滚动时域执行

初始化：k = 0，测量 x(0)
重复：
    1. 求解优化问题：
       U_k^* = arg min J_N(x(k), U)
       s.t. 系统动态、约束条件
    
    2. 实施控制：
       u(k) = u_{0|k}^* （序列的第一个元素）
    
    3. 时间推进：
       k ← k + 1
    
    4. 测量新状态：
       x(k) = 实际系统状态
    
    5. （可选）可行性检查：
       若问题不可行，触发恢复策略

2.2 图形表示

时刻 k:   优化 ──→ {u*₀, u*₁, u*₂, ..., u*N-1}
                    ↓
                  实施 u*₀
                    ↓
时刻 k+1: 测量 x(k+1)
          优化 ──→ {u*₀, u*₁, ..., u*N-1}（新序列）
                      ↓
                    实施 u*₀

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三、反馈特性分析

3.1 隐式控制律

RHO 策略定义了隐式状态反馈控制律：

$$u(k)=\kappa (x(k))$$

其中 $\kappa :{\mathbb{R}}^n\to \mathcal{U}$ 由优化问题定义。

3.2 分段线性性质

对于线性系统 + 二次代价 + 线性约束的 MPC：

$$\kappa (x)=\{\begin{array}{ll}-K_{1}x+c_1& x\in {\mathcal{R}}_1\\ -K_{2}x+c_2& x\in {\mathcal{R}}_2\\ ⋮& ⋮\\ -K_{M}x+c_M& x\in {\mathcal{R}}_M\end{array}$$

其中 $\{{\mathcal{R}}_i\}$ 是状态空间的多面体划分。

显式 MPC

见 04-显式 MPC 了解如何离线计算分段显式控制律。

3.3 闭环系统

RHO 下的闭环系统动态：

$$x(k+1)=Ax(k)+B\kappa (x(k))$$

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四、RHO 的稳定性影响

4.1 开环 vs 闭环稳定性

问题类型	开环稳定性	闭环 (RHO) 稳定性
无限时域 LQR	✅ 保证	✅ 保证（相同）
有限时域开环	❌ 不保证	⚠️ 需终端设计
有限时域 RHO	-	✅ 可证明（终端设计合适）

4.2 终端设计的作用

RHO 策略本身不保证稳定性，需要配合终端设计：

终端设计	RHO 稳定性
终端等式约束 $x_N=0$	✅ 保证
终端不等式约束 $x_N\in {\mathcal{X}}_f$ + $P=P_{\infty }$	✅ 保证
无终端约束 + $P=P_{\infty }$	✅ 保证（$N$ 足够大）
无终端约束 + $P=0$	⚠️ 需 $N$ 很大

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五、计算复杂度

5.1 每步计算量

RHO 需要在每个采样时刻求解优化问题：

步骤	计算量
更新 $f=2{\mathcal{B}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{A}x(k)$	$O(N{n}^2)$
更新 $b_{\text{ineq}}$（约束右端项）	$O(Nn)$
求解 QP	$O((Nm{)}^{2.5})$（内点法）

5.2 实时性要求

采样周期 $T_s$ 必须大于计算时间 $T_{\text{comp}}$：

$$T_s>T_{\text{comp}}$$

否则需要：

• 更快的求解器
• 更短的预测时域 $N$
• 显式 MPC（离线计算）

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六、RHO 的鲁棒性

6.1 扰动抑制

RHO 通过状态测量更新具有固有的扰动抑制能力：

• 测量状态 $x(k)$ 包含了所有扰动的累积效应
• 优化问题基于实际状态重新求解
• 自动”纠正”预测误差

6.2 模型失配容忍

对于模型失配 $x_{\text{actual}}=Ax+Bu+w$：

• RHO 每步用实际状态重置预测
• 小失配可被”吸收”
• 大失配可能导致可行性丢失

鲁棒 MPC

见 鲁棒 MPC-Tube MPC 理论 了解显式处理模型不确定性的方法。

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七、示例：一阶系统 RHO

7.1 系统参数

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k),|u|\le 1$$ $$J_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^2+u_{i|k}^2),N=5$$

7.2 RHO 仿真

$k$	$x(k)$	$u(k)$	说明
0	1.00	-0.52	初始优化
1	0.69	-0.37	重新优化
2	0.48	-0.26	重新优化
3	0.33	-0.18	重新优化
4	0.23	-0.12	重新优化
…	…	…	收敛到原点

7.3 观察

• 每步控制都是基于最新状态优化的结果
• 闭环轨迹平滑收敛
• 若无 RHO（开环实施全部序列），性能会下降

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八、总结

概念	说明
RHO	每步求解优化并实施首步控制
隐式反馈	$u(k)=\kappa (x(k))$
分段线性	线性 MPC 的控制律是分段仿射
稳定性	需配合终端设计保证
计算	每步需在线求解 QP

相关内容

State Shift 构造见 02-基于 Shift 操作的可行解构造 递归可行性见 03-递归可行性的初步概念

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本