递归可行性的初步概念

一、可行性与递归可行性

1.1 可行性定义

定义（可行性）：MPC 优化问题在时刻 $k$ 是可行的，如果存在控制序列 $U_k$ 满足所有约束（系统动态、状态约束、输入约束、终端约束）。

数学表达：

$${\mathcal{U}}_N(x(k))\ne \varnothing$$

1.2 递归可行性定义

定义（递归可行性）：MPC 问题是递归可行的，如果：

$$x(0)\in {\mathcal{F}}_N⟹x(k)\in {\mathcal{F}}_N,\forall k\ge 0$$

即：若初始状态可行，则所有后续时刻都可行。

1.3 为什么需要递归可行性？

问题	说明
运行中断	若某时刻不可行，MPC 无法计算控制律
安全性	不可行可能意味着约束违反或系统失控
稳定性前提	递归可行性是稳定性证明的前提

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二、递归可行性的证明

2.1 主定理

定理：对于带终端不等式约束的 MPC，若：

1. 终端集不变性：${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集
2. 初始可行性：$x(0)\in {\mathcal{F}}_N$
3. 系统无扰动：$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$（精确模型）

则 MPC 问题是递归可行的。

2.2 证明（数学归纳法）

证明：

基础步骤（$k=0$）：

• 已知 $x(0)\in {\mathcal{F}}_N$，即初始可行

归纳步骤：

• 假设时刻 $k$ 可行，即 $x(k)\in {\mathcal{F}}_N$
• 存在最优解 $U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$
• 实施控制 $u(k)=u_{0|k}^{\ast }$
• 下一时刻状态 $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$

构造时刻 $k+1$ 的可行解： 利用 Shift 操作构造候选解：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },-K{x}_{N|k}^{\ast }\}$$

验证可行性（见 02-基于 Shift 操作的可行解构造）：

1. 状态约束：${\tilde{x}}_{i|k+1}\in \mathcal{X}$
2. 输入约束：${\tilde{u}}_{i|k+1}\in \mathcal{U}$
3. 终端约束：${\tilde{x}}_{N|k+1}\in {\mathcal{X}}_f$

因此 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 是时刻 $k+1$ 的可行解，即 $x(k+1)\in {\mathcal{F}}_N$。

结论：由数学归纳法，对所有 $k\ge 0$，$x(k)\in {\mathcal{F}}_N$。

证毕。

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三、可行性传递机制

3.1 传递图示

时刻 k:   x(k) ∈ F_N
          ↓
          求解优化问题，得到 U*_k
          ↓
          实施 u(k) = u*₀|ₖ
          ↓
时刻 k+1: x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
          ↓
          Shift 构造 Ũₖ₊₁
          ↓
          Ũₖ₊₁ 是可行解 → x(k+1) ∈ F_N

3.2 关键要素

要素	作用
终端集不变性	保证 Shift 解的终端状态仍在 ${\mathcal{X}}_f$ 内
Shift 构造	提供时刻 $k+1$ 的可行解
精确模型	保证 $x(k+1)$ 与预测一致

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四、扰动下的递归可行性

4.1 扰动模型

考虑有界扰动：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k),w(k)\in \mathcal{W}$$

其中 $\mathcal{W}$ 是扰动集合（通常是有界凸集）。

4.2 扰动的影响

扰动可能破坏递归可行性：

• 即使 $x(k)\in {\mathcal{F}}_N$，扰动可能使 $x(k+1)\notin {\mathcal{F}}_N$
• Shift 构造的解 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 可能不再可行

4.3 鲁棒递归可行性

定义（鲁棒递归可行性）：MPC 问题是鲁棒递归可行的，如果：

$$x(0)\in {\mathcal{F}}_N^R⟹x(k)\in {\mathcal{F}}_N^R,\forall k\ge 0,\forall w(k)\in \mathcal{W}$$

其中 ${\mathcal{F}}_N^R$ 是鲁棒可行域。

4.4 约束紧缩 (Constraint Tightening)

保证鲁棒递归可行性的方法：

紧缩状态约束：

$$x(k)\in {\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{Z}$$

其中 $\mathcal{Z}$ 是扰动传播的上界集，$\ominus$ 是 Minkowski 差。

紧缩输入约束：

$$u(k)\in {\mathcal{U}}_t=\mathcal{U}\ominus K\mathcal{Z}$$

鲁棒 MPC

见 02-标称系统约束紧缩原理 了解 Tube MPC 的约束紧缩方法。

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五、可行域的演化

5.1 无扰动情况

若 MPC 递归可行，可行域 ${\mathcal{F}}_N$ 是正不变集：

$$x(k)\in {\mathcal{F}}_N⟹x(k+1)\in {\mathcal{F}}_N$$

5.2 有扰动情况

鲁棒可行域 ${\mathcal{F}}_N^R$ 是鲁棒正不变集：

$$x(k)\in {\mathcal{F}}_N^R,\forall w\in \mathcal{W}⟹x(k+1)\in {\mathcal{F}}_N^R$$

5.3 可行域收缩

扰动可能导致可行域收缩：

$${\mathcal{F}}_N^R\subseteq {\mathcal{F}}_N$$

收缩程度取决于：

• 扰动大小 $\mathcal{W}$
• 预测时域 $N$
• 约束紧缩程度

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六、不可行情况的处理

6.1 不可行的原因

原因	说明
初始状态不可行	$x(0)\notin {\mathcal{F}}_N$
大扰动	扰动将状态推出可行域
模型失配	预测与实际偏差过大
约束变化	约束突然变紧

6.2 恢复策略

策略	说明
软约束	引入松弛变量，求解”最小违反”解
约束放松	暂时放宽约束，逐步恢复
紧急控制	切换到备用控制器（如 LQR）
重新规划	寻找新的可行轨迹

6.3 软约束恢复

使用 03-软约束与松弛变量引入 的方法：

• 将硬约束转化为软约束
• 即使原问题不可行，软约束问题仍有解
• 求解后逐步恢复硬约束

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七、示例：可行性分析

7.1 系统参数

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k),|u|\le 1,|x|\le 5$$

$N=5$，无终端约束。

7.2 可行域计算

数值计算得：

$${\mathcal{F}}_5=\{x\mid |x|\le 4.5\}$$

7.3 递归可行性验证

初始状态 $x(0)=4\in {\mathcal{F}}_5$，仿真：

$k$	$x(k)$	是否可行
0	4.0	✅
1	3.1	✅
2	2.4	✅
3	1.8	✅
…	…	✅

所有时刻都可行，递归可行性得证。

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八、总结

概念	说明
可行性	存在满足所有约束的控制序列
递归可行性	若初始可行，则永远可行
证明方法	数学归纳法 + Shift 构造
关键条件	终端集不变性
扰动影响	可能破坏递归可行性
应对策略	约束紧缩、软约束

相关内容

Shift 操作见 02-基于 Shift 操作的可行解构造 终端集设计见 02-终端不等式约束与终端集 Xf 软约束见 03-软约束与松弛变量引入 鲁棒 MPC 见 鲁棒 MPC-Tube MPC 理论

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本