软约束与松弛变量引入

一、硬约束的局限性

1.1 不可行问题

硬约束要求所有约束必须严格满足：

$$G_{x}x\le g_x,G_{u}u\le g_u$$

但在以下情况下，问题可能不可行：

原因	说明
初始状态不可行	$x(0)\notin {\mathcal{F}}_N$
扰动/噪声	外部扰动将状态推出可行域
模型失配	实际系统响应与预测不符
约束过紧	状态/输入约束范围过小

1.2 后果

不可行意味着：

• QP 问题无解
• MPC 控制器无法计算控制律
• 系统可能”失控”

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二、软约束的基本思想

2.1 约束松弛

软约束 (Soft Constraints)：允许约束在一定范围内被违反，但对违反量施加惩罚。

数学表达：

$$G_{x}x\le g_x+ϵ$$

其中 $ϵ\ge 0$ 是松弛变量，表示约束违反量。

2.2 代价函数修正

在原代价函数基础上添加松弛变量的惩罚：

$$J_{\text{soft}}=J_{\text{orig}}+\rho \Vert ϵ{\Vert }^2$$

或

$$J_{\text{soft}}=J_{\text{orig}}+\rho \Vert ϵ{\Vert }_1$$

其中 $\rho >0$ 是惩罚系数。

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三、松弛变量的引入方法

3.1 状态约束松弛

原状态约束：

$$G_{x}x\le g_x$$

引入松弛变量 $ϵ\ge 0$：

$$G_{x}x\le g_x+ϵ$$ $$ϵ\ge 0$$

3.2 输入约束松弛

原输入约束：

$$G_{u}u\le g_u$$

引入松弛变量 ${ϵ}_u\ge 0$：

$$G_{u}u\le g_u+{ϵ}_u$$

3.3 终端约束松弛

终端约束通常需要保持为硬约束（保证稳定性），但也可松弛：

$$x_N\in {\mathcal{X}}_f\Rightarrow x_N\in {\mathcal{X}}_f^{ϵ}$$

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四、惩罚系数的选择

4.1 二次惩罚

$$J_{\text{penalty}}=\rho {ϵ}^{\top }ϵ=\rho \Vert ϵ{\Vert }_2^2$$

特点：

• 光滑，便于优化
• 小 violations 被”容忍”
• 需要较大的 $\rho$ 才能近似硬约束

4.2 $L_1$ 惩罚（精确惩罚）

$$J_{\text{penalty}}=\rho \Vert ϵ{\Vert }_1=\rho \sum _i|{ϵ}_i|$$

特点：

• 精确惩罚性质：当 $\rho$ 足够大时，最优解自动满足原约束
• 适合 MPC（见下文）

4.3 无限惩罚（理论极限）

$$\rho \to \infty \Rightarrow \text{等价于硬约束}$$

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五、精确惩罚函数理论

5.1 主定理

定理（精确惩罚）：考虑约束优化问题

$$\underset{x}{\min }f(x)\text{s.t.}g(x)\le 0$$

其 $L_1$ 精确惩罚问题：

$$\underset{x}{\min }f(x)+\rho \Vert g(x{)}^{+}{\Vert }_1$$

其中 $g(x{)}^{+}=\max (0,g(x))$。

结论：存在有限阈值 ${\rho }^{\ast }>0$，使得对于所有 $\rho >{\rho }^{\ast }$，精确惩罚问题的最优解等于原问题的最优解。

5.2 在 MPC 中的应用

在 MPC 中使用 $L_1$ 惩罚：

• 当 $\rho$ 足够大时，最优解自动满足原约束（若原问题可行）
• 当原问题不可行时，求解”最小违反”的解

5.3 $\rho$ 的下界估计

$${\rho }^{\ast }\ge \Vert {\lambda }^{\ast }{\Vert }_{\infty }$$

其中 ${\lambda }^{\ast }$ 是原问题的最优 Lagrange 乘子。

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六、软约束 QP 形式

6.1 原问题

$$\underset{U}{\min }\frac{1}{2}{U}^{\top }HU+f^{\top }U$$ $$\text{s.t.}{A}_{\text{ineq}}U\le b_{\text{ineq}}$$

6.2 松弛问题

引入松弛变量 $ϵ\ge 0$：

$$\underset{U,ϵ}{\min }\frac{1}{2}{U}^{\top }HU+f^{\top }U+\rho 1^{\top }ϵ$$ $$\text{s.t.}{A}_{\text{ineq}}U\le b_{\text{ineq}}+ϵ$$ $$ϵ\ge 0$$

6.3 标准 QP 形式

定义增广变量 $z=[U^{\top },{ϵ}^{\top }{]}^{\top }$：

$$\underset{z}{\min }\frac{1}{2}{z}^{\top }\bar{H}z+{\bar{f}}^{\top }z$$ $$\text{s.t.}{\bar{A}}_{\text{ineq}}z\le {\bar{b}}_{\text{ineq}},ϵ\ge 0$$

其中：

$$\bar{H}=\left[\begin{array}{cc}H& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\bar{f}=\left[\begin{array}{c}f\\ \rho 1\end{array}\right]$$ $${\bar{A}}_{\text{ineq}}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\text{ineq}}& -I\end{array}\right],{\bar{b}}_{\text{ineq}}=b_{\text{ineq}}$$

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七、约束优先级

7.1 多级优先级

不同约束可能有不同的重要程度：

优先级	约束类型	处理方式
最高	输入硬约束（执行器限制）	保持硬约束
中等	状态硬约束（安全限制）	软约束，大 $\rho$
低	性能约束（跟踪误差）	软约束，小 $\rho$

7.2 加权惩罚

$$J_{\text{penalty}}=\sum _i{\rho }_i{ϵ}_i$$

其中 ${\rho }_i$ 反映第 $i$ 个约束的重要性。

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八、示例：状态约束松弛

8.1 原约束

$$|x(k)|\le 1\Rightarrow -1\le x(k)\le 1$$

8.2 松弛形式

$$-1-{ϵ}_L\le x(k)\le 1+{ϵ}_U$$ $${ϵ}_L\ge 0,{ϵ}_U\ge 0$$

8.3 惩罚项

$$J_{\text{penalty}}=\rho ({ϵ}_L+{ϵ}_U)$$

8.4 数值示例

若最优解为 $x^{\ast }=1.05$，${ϵ}_U^{\ast }=0.05$，${ϵ}_L^{\ast }=0$：

• 约束违反量：$0.05$
• 惩罚代价：$0.05\rho$

当 $\rho \to \infty$ 时，${ϵ}_U^{\ast }\to 0$，解趋近硬约束。

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九、总结

概念	说明
软约束	允许违反但有惩罚的约束
松弛变量	$ϵ\ge 0$，表示违反量
$L_1$ 惩罚	精确惩罚，$\rho$ 足够大时等价硬约束
$L_2$ 惩罚	光滑惩罚，适合优化
约束优先级	不同约束设置不同 $\rho$

相关内容

• 硬约束见 02-硬约束与可行域几何特性
• QP 建模见 01-二次规划 QP 问题建模
• 可行性见 03-递归可行性的初步概念

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本