二次规划 (QP) 问题建模

一、约束 MPC 问题描述

1.1 系统模型

离散时间 LTI 系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$$

1.2 约束条件

状态约束和输入约束：

$$x(k)\in \mathcal{X}=\{x\mid G_{x}x\le g_x\}$$ $$u(k)\in \mathcal{U}=\{u\mid G_{u}u\le g_u\}$$

1.3 优化目标

最小化有限时域代价函数：

$$J_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$$

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二、预测模型的矩阵形式

2.1 状态预测 trajectory

利用 03-状态预测轨迹的递推表达 的结果：

$${\mathbf{X}}_k=\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$$

其中：

• ${\mathbf{X}}_k=[x_{0|k}^{\top },x_{1|k}^{\top },\dots ,x_{N|k}^{\top }{]}^{\top }\in {\mathbb{R}}^{(N+1)n}$
• ${\mathbf{U}}_k=[u_{0|k}^{\top },u_{1|k}^{\top },\dots ,u_{N-1|k}^{\top }{]}^{\top }\in {\mathbb{R}}^{Nm}$

2.2 预测矩阵

$$\mathcal{A}=\left[\begin{array}{c}I\\ A\\ A^2\\ ⋮\\ A^N\end{array}\right],\mathcal{B}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ B& 0& \cdots & 0\\ AB& B& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& \cdots & B\end{array}\right]$$

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三、代价函数的二次型形式

3.1 代入预测方程

将 ${\mathbf{X}}_k=\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$ 代入代价函数：

$$\begin{array}{rl}{J}_N& ={\mathbf{X}}_k^{\top }\bar{Q}{\mathbf{X}}_k+{\mathbf{U}}_k^{\top }\bar{R}{\mathbf{U}}_k\\ & =(\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k{)}^{\top }\bar{Q}(\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k)+{\mathbf{U}}_k^{\top }\bar{R}{\mathbf{U}}_k\end{array}$$

其中 $\bar{Q}=\text{diag}(Q,\dots ,Q,P)$，$\bar{R}=\text{diag}(R,\dots ,R)$。

3.2 展开整理

$$J_N=x(k{)}^{\top }{\mathcal{A}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{A}x(k)+2x(k{)}^{\top }{\mathcal{A}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k+{\mathbf{U}}_k^{\top }({\mathcal{B}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{B}+\bar{R}){\mathbf{U}}_k$$

3.3 忽略常数项

对于优化问题，$x(k)$ 是给定的，因此第一项 $x(k{)}^{\top }{\mathcal{A}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{A}x(k)$ 是常数，可以忽略。

等价代价函数：

$$J_N\sim \frac{1}{2}{\mathbf{U}}_k^{\top }H{\mathbf{U}}_k+f^{\top }{\mathbf{U}}_k$$

其中：

$$H=2({\mathcal{B}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{B}+\bar{R})$$ $$f=2{\mathcal{B}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{A}x(k)$$

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四、约束的矩阵形式

4.1 状态约束

$${\mathbf{X}}_k\in \bar{\mathcal{X}}⟺{\bar{G}}_x{\mathbf{X}}_k\le {\bar{g}}_x$$

代入预测方程：

$${\bar{G}}_x(\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k)\le {\bar{g}}_x$$ $${\bar{G}}_x\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k\le {\bar{g}}_x-{\bar{G}}_x\mathcal{A}x(k)$$

4.2 输入约束

$${\mathbf{U}}_k\in \bar{\mathcal{U}}⟺{\bar{G}}_u{\mathbf{U}}_k\le {\bar{g}}_u$$

4.3 合并约束

定义：

$$A_{\text{ineq}}=\left[\begin{array}{c}{\bar{G}}_x\mathcal{B}\\ {\bar{G}}_u\end{array}\right],b_{\text{ineq}}=\left[\begin{array}{c}{\bar{g}}_x-{\bar{G}}_x\mathcal{A}x(k)\\ {\bar{g}}_u\end{array}\right]$$

约束条件写为：

$$A_{\text{ineq}}{\mathbf{U}}_k\le b_{\text{ineq}}$$

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五、标准 QP 形式

5.1 最终形式

约束 MPC 问题转化为标准二次规划：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\underset{{\mathbf{U}}_k}{\min }& \frac{1}{2}{\mathbf{U}}_k^{\top }H{\mathbf{U}}_k+f^{\top }{\mathbf{U}}_k\\ \text{s.t.}& A_{\text{ineq}}{\mathbf{U}}_k\le b_{\text{ineq}}\end{array}}$$

5.2 矩阵性质

矩阵	性质	说明
$H$	对称正定 ($H\succ 0$)	因为 $R\succ 0$，保证问题凸性
$f$	依赖于 $x(k)$	每个时刻需要更新
$A_{\text{ineq}}$	常数矩阵	可离线计算
$b_{\text{ineq}}$	依赖于 $x(k)$	每个时刻需要更新

5.3 凸性保证

由于 $R\succ 0$ 且 $\bar{Q}⪰0$：

$$H=2({\mathcal{B}}^{\top }\bar{Q}\mathcal{B}+\bar{R})\succ 0$$

因此 QP 问题是严格凸的，存在唯一最优解。

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六、QP 求解器

6.1 常用算法

算法	适用场景	特点
有效集法 (Active Set)	小型问题，热启动	精确，迭代少
内点法 (Interior Point)	中大型问题	多项式时间收敛
对偶法	特殊结构	利用对偶性
ADMM	分布式/嵌入式	简单，适合并行

6.2 软件工具

工具	语言	特点
quadprog	MATLAB	标准求解器
OSQP	C/C++/Python	开源，嵌入式友好
Gurobi	多语言	商业，高性能
CPLEX	多语言	商业，大规模优化
qpOASES	C++	在线 MPC 专用

6.3 计算复杂度

算法	复杂度
有效集法	$O(n_v^3)$ 最坏情况
内点法	$O(n_v^{2.5})$ 平均
ADMM	$O(n_v)$ 每步迭代

其中 $n_v=Nm$ 是优化变量维度。

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七、示例：二维系统 QP 建模

7.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$ $$Q=I,R=0.1,N=10$$

7.2 约束

$$|x_1|\le 1,|x_2|\le 10,|u|\le 1$$

7.3 QP 规模

• 优化变量：$n_v=Nm=10$
• 状态约束：$2(N+1)n=44$ 个不等式
• 输入约束：$2Nm=20$ 个不等式
• 总约束数：64 个

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八、总结

步骤	结果
状态预测	${\mathbf{X}}_k=\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$
代价函数	$\frac{1}{2}{\mathbf{U}}_k^{\top }H{\mathbf{U}}_k+f^{\top }{\mathbf{U}}_k$
约束	$A_{\text{ineq}}{\mathbf{U}}_k\le b_{\text{ineq}}$
QP 求解	标准凸优化问题，唯一最优解

相关内容

• 状态预测见 03-状态预测轨迹的递推表达
• 可行域特性见 02-硬约束与可行域几何特性

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本