状态与输入约束的凸集描述

一、约束的来源

MPC 的核心优势之一是能够显式处理约束。实际系统中的约束来源包括：

类型	来源	示例
状态约束	安全限制、物理边界	速度上限、温度范围、液位限制
输入约束	执行器饱和、速率限制	电机电压饱和、阀门开度限制
输出约束	性能要求、安全边界	压力上限、位置精度

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二、约束的数学表达

2.1 状态约束

状态 $x(k)\in {\mathbb{R}}^n$ 必须满足：

$$x(k)\in \mathcal{X},\forall k\ge 0$$

其中 $\mathcal{X}\subset {\mathbb{R}}^n$ 是状态可行集。

2.2 输入约束

输入 $u(k)\in {\mathbb{R}}^m$ 必须满足：

$$u(k)\in \mathcal{U},\forall k\ge 0$$

其中 $\mathcal{U}\subset {\mathbb{R}}^m$ 是输入可行集。

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三、凸集与多面体表示

3.1 凸集定义

集合 $\mathcal{C}\subset {\mathbb{R}}^n$ 是凸集，如果对于任意 $x_1,x_2\in \mathcal{C}$ 和任意 $\alpha \in [0,1]$：

$$\alpha x_1+(1-\alpha )x_2\in \mathcal{C}$$

几何意义

凸集中任意两点的连线上的所有点也在集合内。

3.2 多面体 (Polytope) 定义

多面体是有限个半空间的交集，可表示为：

$$\mathcal{P}=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Gx\le g\}$$

其中：

• $G\in {\mathbb{R}}^{q\times n}$：约束矩阵
• $g\in {\mathbb{R}}^q$：约束向量
• 不等式是逐元素的

3.3 状态约束的多面体表示

$$\mathcal{X}=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid G_{x}x\le g_x\}$$

3.4 输入约束的多面体表示

$$\mathcal{U}=\{u\in {\mathbb{R}}^m\mid G_{u}u\le g_u\}$$

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四、常见约束类型

4.1 箱型约束 (Box Constraints)

最简单的约束形式，变量上下界：

$$x_{\min }\le x_i\le x_{\max },i=1,\dots ,n$$

等价于：

$$\left[\begin{array}{c}{I}_n\\ -I_n\end{array}\right]x\le \left[\begin{array}{c}{x}_{\max }\\ -x_{\min }\end{array}\right]$$

4.2 输入幅值约束

$$|u_i|\le u_{\max ,i},i=1,\dots ,m$$

等价于：

$$\left[\begin{array}{c}{I}_m\\ -I_m\end{array}\right]u\le \left[\begin{array}{c}{u}_{\max }\\ -u_{\max }\end{array}\right]$$

4.3 输入变化率约束

$$|\Delta u_i|\le \Delta u_{\max ,i},\Delta u(k)=u(k)-u(k-1)$$

4.4 耦合约束

状态或输入之间的耦合关系：

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n\le b$$

例如：两个状态的和不能超过某值。

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五、闭凸集的性质

5.1 闭集

集合 $\mathcal{C}$ 是闭集，如果它包含所有边界点。

5.2 有界性

集合 $\mathcal{C}$ 是有界的，如果存在 $M>0$ 使得 $\Vert x\Vert \le M$ 对所有 $x\in \mathcal{C}$ 成立。

5.3 紧集

紧集 = 闭集 + 有界集。

MPC 中的假设

MPC 理论分析通常假设 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{U}$ 是紧凸集，且包含原点在其内部。

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六、可行域 (Feasible Set)

6.1 定义

满足所有状态和输入约束的状态集合称为可行域：

$$\mathcal{F}=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in \mathcal{X}\}$$

6.2 约束耦合

状态约束和输入约束可能耦合，导致可行域缩小：

状态约束 X：矩形区域
输入约束 U：限制能到达的下一个状态
可行域 F ⊆ X：实际可用的状态范围

6.3 非空性条件

MPC 问题有解的前提是可行域非空：

$$\mathcal{F}\ne \varnothing$$

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七、示例

7.1 直流电机约束

电机电流 $i$ 和角速度 $\omega$ 的约束：

$$|i|\le i_{\max },|\omega |\le {\omega }_{\max },|V|\le V_{\max }$$

矩阵形式：

$$G_x=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right],g_x=\left[\begin{array}{c}{i}_{\max }\\ i_{\max }\\ {\omega }_{\max }\\ {\omega }_{\max }\end{array}\right]$$ $$G_u=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right],g_u=\left[\begin{array}{c}{V}_{\max }\\ V_{\max }\end{array}\right]$$

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八、总结

概念	数学表达	说明
状态约束集	$\mathcal{X}=\{x\mid G_{x}x\le g_x\}$	闭凸多面体
输入约束集	$\mathcal{U}=\{u\mid G_{u}u\le g_u\}$	闭凸多面体
可行域	$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{X}$	满足约束和动力学的状态集
箱型约束	$x_{\min }\le x\le x_{\max }$	最简单的约束形式

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本