平衡点与工作点线性化

一、平衡点 (Equilibrium Point)

1.1 定义

对于离散时间系统：

$$x(k+1)=f(x(k),u(k))$$

状态 $\bar{x}$ 和输入 $\bar{u}$ 称为平衡点（稳态工作点），如果满足：

$$\bar{x}=f(\bar{x},\bar{u})$$

即系统在 $(\bar{x},\bar{u})$ 处保持不变。

1.2 线性系统的平衡点

对于 LTI 系统 $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$，平衡点满足：

$$(I-A)\bar{x}=B\bar{u}$$

原点平衡点

若没有外部输入 ($\bar{u}=0$) 且 $(I-A)$ 可逆，则唯一平衡点是 $\bar{x}=0$。

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二、工作点线性化

2.1 非线性系统

考虑一般非线性系统：

$$x(k+1)=f(x(k),u(k))$$

2.2 泰勒展开线性化

在工作点 $(x_0,u_0)$ 附近进行一阶泰勒展开：

$$x(k+1)\approx f(x_0,u_0)+\underset{A}{\underbrace{\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,u_0)}}}(x(k)-x_0)+\underset{B}{\underbrace{\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{(x_0,u_0)}}}(u(k)-u_0)$$

2.3 线性化矩阵

$$A=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,u_0)}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$$ $$B=\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{(x_0,u_0)}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$$

2.4 线性化误差

忽略二阶及更高阶项引入的误差：

$$e_{\text{lin}}=O(\Vert x-x_0{\Vert }^2)+O(\Vert u-u_0{\Vert }^2)$$

线性化的有效性

线性化仅在工作点附近有效。偏离工作点越远，线性化误差越大。

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三、增量模型 (Incremental Model)

3.1 增量变量定义

定义相对于工作点的偏差：

$$\Delta x(k)=x(k)-\bar{x}$$ $$\Delta u(k)=u(k)-\bar{u}$$

3.2 增量系统方程

代入原系统方程：

$$\bar{x}+\Delta x(k+1)=A(\bar{x}+\Delta x(k))+B(\bar{u}+\Delta u(k))$$

利用平衡点条件 $\bar{x}=A\bar{x}+B\bar{u}$，得到：

$$\boxed{\Delta x(k+1)=A\Delta x(k)+B\Delta u(k)}$$

3.3 增量模型的优势

优势	说明
消除稳态误差	积分作用隐含在增量形式中
处理常值扰动	常值扰动被平衡点吸收
方便跟踪控制	直接对偏差进行控制

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四、带积分作用的 MPC

4.1 增广状态方法

为实现无静差跟踪，引入积分状态：

$$x_I(k+1)=x_I(k)+(r(k)-y(k))$$

其中 $r(k)$ 是参考信号，$y(k)$ 是输出。

4.2 增广系统

$$\left[\begin{array}{c}x(k+1)\\ x_I(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ -C& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k)\\ x_I(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u(k)+\left[\begin{array}{c}0\\ I\end{array}\right]r(k)$$

4.3 应用场景

增量模型 + 积分作用 = 无静差跟踪 MPC

进阶内容

见 轨迹跟踪与无静差 MPC 理论 详细了解跟踪 MPC 设计。

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五、多工作点策略

5.1 问题

单个线性化模型只能在单一工作点附近有效。

5.2 解决方案

方法	说明
增益调度	不同工作点使用不同的线性模型和控制器增益
多模型 MPC	同时维护多个线性模型，根据工况切换或加权
非线性 MPC	直接使用非线性模型（计算量更大）

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六、示例：倒立摆线性化

6.1 非线性模型

倒立摆的动力学方程（简化）：

$$(M+m)\ddot{x}+ml\ddot{\theta }\cos \theta -ml{\dot{\theta }}^2\sin \theta =F$$ $$(I+m{l}^2)\ddot{\theta }+ml\ddot{x}\cos \theta +mgl\sin \theta =0$$

6.2 工作点选择

upright 位置：$\theta =0,\dot{\theta }=0,x=0,\dot{x}=0$

6.3 线性化结果

小角度近似 ($\sin \theta \approx \theta ,\cos \theta \approx 1,{\dot{\theta }}^2\approx 0$)：

$$(M+m)\ddot{x}+ml\ddot{\theta }=F$$ $$(I+m{l}^2)\ddot{\theta }+ml\ddot{x}+mgl\theta =0$$

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七、总结

概念	公式	应用
平衡点	$\bar{x}=f(\bar{x},\bar{u})$	稳态工作点
泰勒展开线性化	$A = \frac{\partial f}{\partial x}	_{(x_0,u_0)}$
增量模型	$\Delta x(k+1)=A\Delta x(k)+B\Delta u(k)$	无静差控制
积分作用	$x_I(k+1)=x_I(k)+(r-y)$	跟踪控制

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本