能控性与能观性判据

一、能控性 (Controllability)

1.1 定义

线性离散时间系统 $(A,B)$ 称为完全能控的，如果对于任意初始状态 $x(0)$ 和任意目标状态 $x_f$，存在有限步控制序列 $\{u(0),u(1),\dots ,u(N-1)\}$ 使得系统从 $x(0)$ 转移到 $x_f$。

物理意义

能控性回答的问题是：能否通过合适的控制输入，将系统驱动到任意期望的状态？

1.2 能控性矩阵

能控性矩阵定义为：

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{n\times nm}$$

1.3 秩判据

系统 $(A,B)$ 完全能控的充要条件：

$$\text{rank}(\mathcal{C})=n$$

即能控性矩阵行满秩。

1.4 PBH 判据 (Popov-Belevitch-Hautus)

系统 $(A,B)$ 完全能控的充要条件：

$$\text{rank}\left[\begin{array}{cc}\lambda I-A& B\end{array}\right]=n,\forall \lambda \in \text{eig}(A)$$

PBH 判据的优势

PBH 判据特别适合分析特定特征值对应的能控性。若某个特征值 ${\lambda }_i$ 不满足条件，则该模态不能控。

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二、能观性 (Observability)

2.1 定义

线性离散时间系统 $(A,C)$ 称为完全能观的，如果通过有限步的输出测量 $\{y(0),y(1),\dots ,y(N-1)\}$ 能够唯一确定初始状态 $x(0)$。

物理意义

能观性回答的问题是：能否通过测量输出，反推出系统的内部状态？

2.2 能观性矩阵

能观性矩阵定义为：

$$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{pn\times n}$$

2.3 秩判据

系统 $(A,C)$ 完全能观的充要条件：

$$\text{rank}(\mathcal{O})=n$$

即能观性矩阵列满秩。

2.4 PBH 判据

系统 $(A,C)$ 完全能观的充要条件：

$$\text{rank}\left[\begin{array}{c}\lambda I-A\\ C\end{array}\right]=n,\forall \lambda \in \text{eig}(A)$$

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三、能控性与 MPC 的关系

3.1 能控性是 MPC 稳定的前提

Important

能控性是实现状态镇定和轨迹跟踪的数学前提。

• 若系统不能控，存在状态无法被输入影响
• MPC 无法镇定不能控的模态
• 对于不能控但稳定的模态（可镇定的），MPC 仍可工作

3.2 能控性与可行域

• 完全能控：可行域通常较大
• 部分能控：可行域受不能控模态限制

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四、能观性与状态估计

4.1 状态估计的必要性

MPC 需要全状态反馈 $x(k)$，但实际系统中：

• 并非所有状态都可测量
• 需要设计状态观测器（如 Kalman 滤波器）

4.2 能观性与观测器

• 完全能观：可设计渐近稳定的观测器
• 部分能观：只能估计能观子空间的状态
• 能检测（detectable）：不能观模态稳定，仍可设计稳定观测器

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五、示例

5.1 二阶系统

考虑系统：

$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$

能控性检验：

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{cc}B& AB\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],\text{rank}(\mathcal{C})=2=n$$

系统完全能控。

能观性检验：

$$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\text{rank}(\mathcal{O})=2=n$$

系统完全能观。

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六、相关概念

概念	定义
镇定 (Stabilizable)	不能控模态是稳定的
能检测 (Detectable)	不能观模态是稳定的
输出能控性	输出（而非状态）能否被控制

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七、总结

性质	判据	MPC 意义
能控性	$\text{rank}[B,AB,\dots ,A^{n-1}B]=n$	状态镇定的前提
能观性	$\text{rank}[C^T,A^T{C}^T,\dots ,(A^{n-1}{)}^T{C}^T{]}^T=n$	状态估计的前提

相关内容

• 状态空间模型基础见 01-LTI 系统连续表达
• 约束表示见 02-状态与输入约束的凸集描述

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本