LTI 系统连续表达

一、线性时不变 (LTI) 系统

1.1 连续时间状态空间模型

线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 系统的连续时间状态空间表达为：

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

其中：

• $x(t)\in {\mathbb{R}}^n$：状态向量，描述系统动态的最小变量集
• $u(t)\in {\mathbb{R}}^m$：输入向量（控制向量），可由外部施加的信号
• $y(t)\in {\mathbb{R}}^p$：输出向量，可测量的信号
• $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$：系统矩阵，描述系统内部动态
• $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$：输入矩阵，描述输入如何影响状态
• $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$：输出矩阵，描述哪些状态可以被测量
• $D\in {\mathbb{R}}^{p\times m}$：直传矩阵，描述输入对输出的直接影响（许多物理系统中 $D=0$）

状态变量的物理意义

状态变量是能够完全描述系统动态行为的最小变量集。一旦知道 $t_0$ 时刻的状态 $x(t_0)$ 和 $t\ge t_0$ 的输入 $u(t)$，就能唯一确定系统在未来任意时刻的行为。

1.2 维度说明

变量	维度	物理含义
$x$	$n\times 1$	$n$ 个状态变量
$u$	$m\times 1$	$m$ 个控制输入
$y$	$p\times 1$	$p$ 个测量输出
$A$	$n\times n$	系统内部动态耦合
$B$	$n\times m$	输入对状态的影响
$C$	$p\times n$	状态到输出的映射
$D$	$p\times m$	输入到输出的直通

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二、状态方程的物理意义

2.1 状态方程 $\dot{x}=Ax+Bu$

状态方程描述系统状态的变化率如何由当前状态和输入决定：

• $Ax$ 项：系统自由运动（无输入时的自然响应）
• $Bu$ 项：输入对状态变化的驱动作用

2.2 输出方程 $y=Cx+Du$

输出方程描述可测量输出如何由状态和输入组合而成：

• $Cx$ 项：状态的线性组合（哪些状态可被测量）
• $Du$ 项：输入对输出的直接影响（通常可忽略）

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三、示例：直流电机模型

3.1 物理系统

考虑一个简化的直流电机模型：

• 电枢电压 $V$ 为输入
• 角速度 $\omega$ 和电流 $i$ 为状态
• 输出为角速度 $\omega$

3.2 微分方程

$$L\frac{di}{dt}=-Ri-K_e\omega +V$$ $$J\frac{d\omega }{dt}=K_{t}i-b\omega$$

3.3 状态空间形式

定义 $x=\left[\begin{array}{c}i\\ \omega \end{array}\right]$，$u=V$：

$$\left[\begin{array}{c}\dot{i}\\ \dot{\omega }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{K_e}{L}\\ \frac{K_t}{J}& -\frac{b}{J}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}i\\ \omega \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]V$$ $$\omega =\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}i\\ \omega \end{array}\right]$$

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四、LTI 系统的特性

4.1 叠加原理

LTI 系统满足叠加原理：

$$\text{若 }{u}_1\to x_1\text{ 且 }{u}_2\to x_2,\text{则 }\alpha u_1+\beta u_2\to \alpha x_1+\beta x_2$$

4.2 时不变性

系统参数 $A,B,C,D$ 不随时间变化：

$$u(t)\to y(t)⟹u(t-\tau )\to y(t-\tau )$$

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五、从连续到离散

下一节

在数字计算机上实现 MPC 需要使用离散时间模型。见 02-零阶保持器 ZOH 离散化方法 了解如何将连续 LTI 系统精确离散化。

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本