零阶保持器 (ZOH) 离散化方法

一、离散化的必要性

MPC 算法在数字计算机（微处理器、DSP、FPGA）上实现，需要离散时间模型：

$$x(k+1)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)$$

其中 $k$ 为离散时间索引，$T_s$ 为采样周期。

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二、零阶保持器假设

2.1 ZOH 定义

零阶保持器 (Zero-Order Hold, ZOH) 假设控制输入在每个采样周期内保持恒定：

$$u(t)=u(k),\forall t\in [k{T}_s,(k+1)T_s)$$

连续输入 u(t)          离散输入 u(k)
     /\                      /\
     |                       |
  ___|___                    |
 |       |                   |
 |       |                   |
_|       |___                |
 0  T_s 2T_s 3T_s           k=0  1   2   3

2.2 物理意义

ZOH 假设反映了数字控制系统的实际工作方式：

• 控制器在每个采样时刻 $k{T}_s$ 计算控制量 $u(k)$
• DAC（数模转换器）将该值保持到下一个采样时刻
• 执行器（如电机驱动器）接收到的是阶梯状信号

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三、精确离散化公式

3.1 连续系统

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$

3.2 离散化推导

对连续状态方程在 $[k{T}_s,(k+1)T_s]$ 区间积分：

$$x((k+1)T_s)=e^{A{T}_s}x(k{T}_s)+{\int }_0^{T_s}{e}^{A\tau }Bu(k{T}_s)d\tau$$

3.3 离散矩阵定义

$$\boxed{A_d=e^{A{T}_s}}$$ $$\boxed{B_d=\left({\int }_0^{T_s}{e}^{A\tau }d\tau \right)B}$$

当 $A$ 非奇异时，$B_d$ 可简化为：

$$B_d=A^{-1}(e^{A{T}_s}-I)B$$

3.4 离散时间状态方程

$$x(k+1)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)$$

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四、矩阵指数计算

4.1 定义

矩阵指数 $e^{At}$ 定义为：

$$e^{At}=I+At+\frac{A^2{t}^2}{2!}+\frac{A^3{t}^3}{3!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k{t}^k}{k!}$$

4.2 计算方法

方法	适用场景	说明
级数展开	小型系统	截断级数近似
特征值分解	$A$ 可对角化	$e^{At}=V{e}^{\Lambda t}{V}^{-1}$
Cayley-Hamilton	理论分析	利用特征多项式
数值方法	大型系统	Padé近似、Scaling-Squaring

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五、采样周期 $T_s$ 的影响

5.1 极点映射

连续系统极点 $s$ 与离散系统极点 $z$ 的映射关系：

$$z=e^{s{T}_s}$$

s 平面                     z 平面
jω --- 虚轴                |单位圆
     |                     |
-----+----- 实轴      -----+-----
     |                     |

5.2 $T_s$ 选择原则

$T_s$ 大小	优点	缺点
过小	离散化误差小	计算负担大，数值病态
过大	计算负担小	离散化误差大，可能失稳

5.3 经验法则

$$T_s\le \frac{1}{10\sim 20}\times \text{系统带宽的倒数}$$

或

$$T_s\le \frac{1}{10\sim 20}\times \frac{2\pi }{{\omega }_{\text{max}}}$$

其中 ${\omega }_{\text{max}}$ 是系统最快模态的频率。

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六、示例

6.1 一阶系统

连续系统：

$$\dot{x}=-ax+bu$$

离散化：

$$A_d=e^{-a{T}_s},B_d=\frac{1-e^{-a{T}_s}}{a}b$$

6.2 二阶谐振系统

连续系统：

$$\ddot{y}+{\omega }_n^{2}y=u$$

状态空间形式：

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }_n^2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u$$

离散化后：

$$A_d=\left[\begin{array}{cc}\cos ({\omega }_n{T}_s)& \frac{\sin ({\omega }_n{T}_s)}{{\omega }_n}\\ -{\omega }_n\sin ({\omega }_n{T}_s)& \cos ({\omega }_n{T}_s)\end{array}\right]$$

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七、其他离散化方法

方法	说明	精度
ZOH	零阶保持器，精确	⭐⭐⭐
FOH	一阶保持器（线性插值）	⭐⭐⭐⭐
欧拉前向	$x(k+1)=x(k)+T_s(Ax(k)+Bu(k))$	⭐⭐
欧拉后向	隐式方法，数值稳定	⭐⭐
双线性变换 (Tustin)	$s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$	⭐⭐⭐

ZOH 是精确的

在 ZOH 假设下，上述离散化公式是精确的，没有近似误差。误差来源于实际输入与 ZOH 假设的偏差。

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八、总结

项目	公式/说明
离散系统矩阵	$A_d=e^{A{T}_s}$
离散输入矩阵	$B_d={\int }_0^{T_s}{e}^{A\tau }d\tau \cdot B$
ZOH 假设	$u(t)=u(k)$ 在 $[k{T}_s,(k+1)T_s)$ 内恒定
极点映射	$z=e^{s{T}_s}$

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本