离散化误差与模型失配分析

一、误差来源

MPC 实现中的误差主要来自以下几个方面：

连续时间实际系统
       ↓
   [建模误差] → 模型 - 实际差异
       ↓
连续时间标称模型
       ↓
   [离散化误差] → 数值近似误差
       ↓
离散时间模型
       ↓
   [计算误差] → 浮点数舍入、优化求解误差
       ↓
MPC 控制器实现

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二、离散化误差分析

2.1 ZOH 假设下的精确离散化

在零阶保持器假设下，若输入 $u(t)$ 在每个采样周期内确实恒定，则离散化公式：

$$A_d=e^{A{T}_s},B_d={\int }_0^{T_s}{e}^{A\tau }d\tau \cdot B$$

是精确的，没有离散化误差。

2.2 实际输入与 ZOH 假设的偏差

实际系统中，输入信号可能在采样周期内变化：

$$u(t)=u(k)+\delta u(t),t\in [k{T}_s,(k+1)T_s)$$

其中 $\delta u(t)$ 是输入的变化部分。

2.3 离散化误差界

实际离散系统为：

$$x(k+1)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)+e_d(k)$$

其中离散化误差 $e_d(k)$ 满足：

$$\Vert e_d(k)\Vert \le \gamma \cdot \underset{t\in [k{T}_s,(k+1)T_s)}{\max }\Vert \delta u(t)\Vert$$

其中 $\gamma$ 是与 $T_s$ 和系统参数有关的常数。

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三、数值积分近似误差

3.1 欧拉法近似

使用欧拉前向法近似离散化：

$$x(k+1)\approx x(k)+T_s(Ax(k)+Bu(k))$$

对应的离散矩阵近似为：

$$A_d\approx I+A{T}_s,B_d\approx B{T}_s$$

3.2 截断误差

欧拉法的局部截断误差为 $O(T_s^2)$：

$$e^{A{T}_s}=I+A{T}_s+\frac{(A{T}_s{)}^2}{2!}+O(T_s^3)$$ $$\text{误差}=\frac{(A{T}_s{)}^2}{2!}+O(T_s^3)=O(T_s^2)$$

3.3 累积误差界

在预测时域 $N$ 内，累积误差满足：

$$\Vert e_{\text{cumulative}}\Vert \le N\cdot O(T_s^2)=\frac{T}{T_s}\cdot O(T_s^2)=O(T_s)$$

其中 $T=N{T}_s$ 是预测时域的总时间长度。

误差随预测时域累积

离散化误差在预测时域内会累积。预测时域越长，累积误差越大。

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四、模型 - 实际差异（Model-Plant Mismatch）

4.1 定义

模型 - 实际差异指用于 MPC 设计的标称模型与实际被控系统之间的差异：

$$x_{\text{actual}}(k+1)=A_{\text{actual}}x(k)+B_{\text{actual}}u(k)+w(k)$$ $$x_{\text{model}}(k+1)=A_{\text{model}}x(k)+B_{\text{model}}u(k)$$

模型失配：

$$\Delta A=A_{\text{actual}}-A_{\text{model}},\Delta B=B_{\text{actual}}-B_{\text{model}}$$

4.2 失配来源

来源	说明
参数不确定性	质量、惯量、阻尼等参数的测量误差
未建模动态	高频模态、非线性效应被忽略
外部扰动	风阻、负载变化等
线性化误差	工作点变化导致线性模型失效

4.3 理论边界

假设模型失配有界：

$$\Vert \Delta A\Vert \le {\delta }_A,\Vert \Delta B\Vert \le {\delta }_B$$

则预测轨迹的偏差满足：

$$\Vert x_{\text{actual}}(k+i)-x_{\text{model}}(k+i)\Vert \le {\beta }_i({\delta }_A+{\delta }_B)$$

其中 ${\beta }_i$ 是随预测步数 $i$ 增长的系数。

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五、对 MPC 性能的影响

5.1 预测偏差

模型失配导致预测状态与实际状态的偏差：

$$e_x(i)=x_{\text{actual}}(k+i|k)-x_{\text{model}}(k+i|k)$$

5.2 可行性影响

若模型失配过大，可能导致：

• 实际约束违反（即使优化问题预测可行）
• 递归可行性丧失

5.3 稳定性影响

模型失配可能破坏 Lyapunov 函数的下降性，影响闭环稳定性。

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六、应对措施

方法	说明	参考
减小 $T_s$	降低离散化误差	受计算能力限制
鲁棒 MPC	显式考虑模型不确定性	鲁棒 MPC-Tube MPC 理论
约束紧缩	预留安全裕度	02-标称系统约束紧缩原理
自适应 MPC	在线辨识模型参数	进阶内容
反馈校正	利用测量值修正预测	标准 MPC 已具备

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七、总结

误差类型	来源	量级	应对
ZOH 假设误差	输入变化	$O(\delta u)$	提高采样率
数值近似误差	离散化方法	$O(T_s^2)$	使用精确公式
模型 - 实际差异	参数不确定性	${\delta }_A,{\delta }_B$	鲁棒 MPC

相关内容

• 精确离散化公式见 02-零阶保持器 ZOH 离散化方法
• 鲁棒 MPC 方法见 鲁棒 MPC-Tube MPC 理论

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本