开环控制序列与闭环反馈映射

一、MPC 的优化变量

1.1 开环控制序列定义

在 MPC 中，优化变量是未来控制输入序列：

$$U_k=\{u_{0|k},u_{1|k},\dots ,u_{N-1|k}\}$$

其中：

• $k$：当前时刻（实际时间）
• $i$：预测步数（相对于时刻 $k$）
• $u_{i|k}$：在时刻 $k$ 优化的第 $i$ 步控制输入

1.2 优化问题的性质

MPC 在每个时刻 $k$ 求解的是一个开环优化问题：

• 基于当前状态 $x(k)$ 初始化预测
• 计算从 $k$ 到 $k+N-1$ 的控制序列
• 不考虑预测过程中状态测量值的更新

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二、滚动时域执行 (Receding Horizon)

2.1 执行策略

尽管优化产生的是开环序列，MPC 实际只实施第一步控制：

$$u(k)=u_{0|k}^{\ast }$$

其中 $u_{0|k}^{\ast }$ 是最优控制序列的第一个元素。

2.2 滚动机制

时刻 k:   优化得到 {u*₀|ₖ, u*₁|ₖ, u*₂|ₖ, ..., u*N-1|ₖ}
          ↓
          实施 u(k) = u*₀|ₖ
          ↓
时刻 k+1: 测量新状态 x(k+1)
          重新优化得到 {u*₀|ₖ₊₁, u*₁|ₖ₊₁, ..., u*N-1|ₖ₊₁}
          ↓
          实施 u(k+1) = u*₀|ₖ₊₁

2.3 反馈机制

隐式状态反馈

尽管每个优化问题是开环的，滚动时域执行机制使 MPC 成为隐式的状态反馈控制器：

$$u(k)=\kappa (x(k))$$

其中 $\kappa (\cdot )$ 是由优化问题定义的隐式控制律。

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三、开环与闭环的对比

特性	开环优化	闭环执行
优化变量	序列 $U_k$	单步 $u(k)$
信息使用	仅用 $x(k)$	每步更新 $x(k+1)$
抗扰性	无	有（通过状态更新）
计算	一次性求解	每步重新求解

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四、反馈控制律的性质

4.1 隐式表达

MPC 的控制律 $\kappa (x)$ 通常没有显式解析表达式，而是由优化问题定义：

$$\kappa (x)=\arg \underset{u_0}{\min }V(x,U)$$

其中 $V(x,U)$ 是代价函数。

4.2 分段线性性质

对于线性系统 + 二次代价 + 线性约束的 MPC：

• 控制律 $\kappa (x)$ 是分段仿射函数
• 状态空间被划分为多个临界区域
• 每个区域内控制律是线性的

显式 MPC

见 04-显式 MPC 了解如何离线计算分段显式控制律。

4.3 非线性特性

即使对于线性系统，MPC 控制律也是非线性的（由于约束）：

• 无约束区域：线性控制律（类似 LQR）
• 约束激活区域：非线性饱和特性

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五、示例：一阶系统的 MPC

5.1 系统模型

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k)$$

5.2 优化问题

$$\underset{U}{\min }\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^2+u_{i|k}^2)$$ $$\text{s.t. }{x}_{i+1|k}=0.8x_{i|k}+0.2u_{i|k}$$

5.3 隐式控制律

最优解的形式为：

$$u(k)=\kappa (x(k))=\{\begin{array}{ll}-Kx(k)& \text{无约束时}\\ u_{\max }& \text{输入饱和时}\\ -u_{\max }& \text{输入负饱和时}\end{array}$$

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六、总结

概念	说明
开环控制序列	$U_k = {u_{0
滚动时域执行	每步只实施 $u(k) = u_{0
隐式反馈律	$u(k)=\kappa (x(k))$，由优化问题定义
分段线性	线性系统 + 约束 → 分段仿射控制律

相关内容

• 状态预测递推表达见 03-状态预测轨迹的递推表达
• 滚动优化策略见 01-滚动时域执行策略 RHO

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本