滚动时域下的状态平移原理

滚动时域下的状态平移 (State Shift) 原理

一、MPC 的滚动时域机制

1.1 问题描述

考虑无约束离散时间 LQR 问题，在 MPC 框架下求解：

在时刻 $k$ 的优化问题：

$$\underset{U_k}{\min }{J}_N(x(k),U_k)=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$$

约束：

$$x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},x_{0|k}=x(k)$$

1.2 最优解序列

设时刻 $k$ 的最优控制序列为：

$$U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$$

对应的最优状态轨迹为：

$$X_k^{\ast }=\{x_{0|k}^{\ast },x_{1|k}^{\ast },\dots ,x_{N|k}^{\ast }\}$$

其中 $x_{0|k}^{\ast }=x(k)$。

---

二、状态平移构造

2.1 核心思想

状态平移 (State Shift) 原理：在时刻 $k+1$，可以利用时刻 $k$ 的最优解构造一个可行解。

2.2 平移操作

时刻 $k+1$ 的候选控制序列构造如下：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },u_{N|k}^{\text{term}}\}$$

其中终端控制输入：

$$u_{N|k}^{\text{term}}=-K{x}_{N|k}^{\ast }$$

2.3 对应的状态轨迹

候选控制序列对应的状态轨迹为：

$${\tilde{X}}_{k+1}=\{x_{1|k}^{\ast },x_{2|k}^{\ast },\dots ,x_{N|k}^{\ast },x_{N+1|k}^{\ast }\}$$

其中：

$$x_{N+1|k}^{\ast }=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }$$

2.4 图形表示

时刻 k:  x₀* → x₁* → x₂* → ... → xN*
         ↓     ↓     ↓           ↓
         u₀*   u₁*   u₂*  ...   uN-1*

时刻 k+1: x₁* → x₂* → ... → xN* → xN+1*
          ↓     ↓          ↓      ↓
          u₁*   u₂*  ...   uN-1*  uN_term

---

三、最优性分析

3.1 关键观察

无约束情况下，时刻 $k+1$ 的候选解 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 恰好是时刻 $k+1$ 的最优解：

$${\tilde{U}}_{k+1}=U_{k+1}^{\ast }$$

3.2 证明思路

证明：

1. 时刻 $k$ 的最优控制律为：$u_{i|k}^{\ast }=-K{x}_{i|k}^{\ast }$

2. 平移后的控制序列：

   $${\tilde{u}}_{i|k+1}=u_{i+1|k}^{\ast }=-K{x}_{i+1|k}^{\ast }=-K{\tilde{x}}_{i|k+1}$$

3. 这正是 LQR 最优控制律的形式

4. 由最优性原理，该序列即为时刻 $k+1$ 的最优解

证毕。

3.3 直观解释

• 无约束 LQR 的最优控制律是状态反馈：$u^{\ast }(k)=-Kx(k)$
• 状态反馈是时不变的（增益 $K$ 不随时间变化）
• 因此，“平移”后的序列仍然是最优的

---

四、有约束情况的对比

4.1 约束的影响

当存在状态和输入约束时：

$$x(k)\in \mathcal{X},u(k)\in \mathcal{U}$$

平移构造的序列 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 仍然是可行解，但不一定是最优解。

4.2 可行性保持

命题：若终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集，则平移构造的序列满足所有约束。

证明思路：

• $x_{i|k+1}=x_{i+1|k}^{\ast }\in \mathcal{X}$（因为 $X_k^{\ast }$ 可行）
• $u_{i|k+1}=u_{i+1|k}^{\ast }\in \mathcal{U}$（因为 $U_k^{\ast }$ 可行）
• 终端状态 $x_{N|k+1}=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$（不变性）

4.3 最优性损失

由于约束的存在，时刻 $k+1$ 的真实最优解 $U_{k+1}^{\ast }$ 可能与平移解 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 不同：

$$J(x(k+1),U_{k+1}^{\ast })\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$$

这个不等式是 MPC 稳定性证明的关键。

---

五、State Shift 的应用

5.1 稳定性证明

State Shift 原理用于证明 MPC 的闭环稳定性：

1. 构造时刻 $k+1$ 的候选解 ${\tilde{U}}_{k+1}$
2. 比较 $J^{\ast }(x(k+1))$ 与 $J^{\ast }(x(k))$
3. 证明最优值函数单调递减

后续内容

见 02-最优值函数的单调递减性证明 了解完整的稳定性证明。

5.2 热启动 (Warm Start)

在数值优化中，State Shift 可用于热启动：

• 用 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 作为时刻 $k+1$ 优化的初始猜测
• 加速收敛，减少计算时间

5.3 递归可行性

State Shift 是证明递归可行性的核心工具：

• 若时刻 $k$ 可行，则 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 是时刻 $k+1$ 的可行解
• 因此时刻 $k+1$ 也可行

相关内容

递归可行性证明见 01-可行性传递机制与数学归纳法。

---

六、示例：一阶系统 State Shift

6.1 系统参数

$$A=0.8,B=0.2,Q=1,R=1$$

最优增益 $K\approx 0.618$。

6.2 时刻 $k=0$

初始状态 $x(0)=1$，最优序列：

$$U_0^{\ast }=\{-0.618,-0.497,-0.400,\dots \}$$ $$X_0^{\ast }=\{1,0.676,0.458,\dots \}$$

6.3 时刻 $k=1$

实际状态 $x(1)=0.676$，平移构造：

$${\tilde{U}}_1=\{-0.497,-0.400,\dots ,-K{x}_{N|0}^{\ast }\}$$

这正是 $x(1)=0.676$ 时的最优解。

---

七、总结

概念	说明
状态平移	将上一时刻最优解”平移”作为下一时刻的候选解
无约束情况	平移解 = 最优解
有约束情况	平移解 = 可行解（不一定最优）
应用	稳定性证明、热启动、递归可行性

相关内容

• 最优值函数单调性见 02-最优值函数的单调递减性证明
• 递归可行性见 01-可行性传递机制与数学归纳法

---

更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本