最优值函数作为 Lyapunov 候选

一、Lyapunov 稳定性理论回顾

1.1 离散时间 Lyapunov 定理

定理（Lyapunov 稳定性）：对于离散时间系统 $x(k+1)=f(x(k))$，若存在函数 $V:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 满足：

1. 正定性：$V(0)=0$，且 $V(x)>0,\forall x\ne 0$
2. 径向无界性：$V(x)\to \infty$ 当 $\Vert x\Vert \to \infty$（可选，用于全局稳定）
3. 下降性：$\Delta V=V(x(k+1))-V(x(k))<0,\forall x\ne 0$

则系统原点是渐近稳定的。

1.2 Lyapunov 函数的构造难点

Lyapunov 定理是充分条件而非必要条件：

• 若找到满足条件的 $V(x)$，系统稳定
• 若找不到，不能断定系统不稳定

关键问题：如何构造合适的 $V(x)$？

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二、MPC 最优值函数

2.1 最优值函数定义

MPC 的最优值函数定义为：

$$J^{\ast }(x(k))=\underset{U_k}{\min }{J}_N(x(k),U_k)$$

其中：

$$J_N(x(k),U_k)=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$$

2.2 最优值函数的性质

性质	数学表达	说明
非负性	$J^{\ast }(x)\ge 0$	因为 $Q⪰0,R\succ 0,P⪰0$
零点	$J^{\ast }(0)=0$	零状态的最优代价为零
下界	$J^{\ast }(x)\ge x^{\top }Qx$	至少包含第一步状态代价

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三、正定性证明

3.1 主定理

定理：MPC 最优值函数 $J^{\ast }(x)$ 满足 Lyapunov 函数的正定性条件：

1. $J^{\ast }(0)=0$
2. $J^{\ast }(x)>0,\forall x\ne 0$（若 $(A,Q^{1/2})$ 可检测）

3.2 证明：$J^{\ast }(0)=0$

证明：

当 $x(0)=0$ 时：

• 零控制序列 $U=\{0,0,\dots ,0\}$ 是可行的
• 对应的状态轨迹 $X=\{0,0,\dots ,0\}$
• 代价函数 $J_N(0,0)=0$

因此：

$$J^{\ast }(0)=\underset{U}{\min }{J}_N(0,U)=0$$

证毕。

3.3 证明：$J^{\ast }(x)>0$ for $x\ne 0$

证明：

对于任意 $x\ne 0$ 和任意可行控制序列 $U$：

$$J_N(x,U)=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$$

由于 $Q⪰0$，$R\succ 0$，$P⪰0$：

• 每一项都是非负的
• 至少第一项 $x_{0|k}^{\top }Q{x}_{0|k}=x^{\top }Qx>0$（若 $Q\succ 0$）

若 $Q⪰0$（半正定），需要 $(A,Q^{1/2})$ 可检测条件保证：

• 不能观的不稳定模态会被 $R$ 惩罚
• 总代价 $J^{\ast }(x)>0$

因此 $J^{\ast }(x)>0$ for all $x\ne 0$。

证毕。

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四、径向无界性

4.1 定义

径向无界性：$V(x)\to \infty$ 当 $\Vert x\Vert \to \infty$。

4.2 MPC 最优值函数的径向无界性

命题：若 $Q\succ 0$，则 $J^{\ast }(x)$ 是径向无界的。

证明：

$$J^{\ast }(x)\ge x^{\top }Qx\ge {\lambda }_{\min }(Q)\Vert x{\Vert }^2$$

其中 ${\lambda }_{\min }(Q)>0$ 是 $Q$ 的最小特征值。

因此：

$$\Vert x\Vert \to \infty ⟹J^{\ast }(x)\to \infty$$

证毕。

4.3 半正定 $Q$ 的情况

若 $Q⪰0$（半正定），需要 $(A,Q^{1/2})$ 可检测：

• 不能观的模态必须是稳定的
• 否则无限时域代价无界

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五、与 LQR 值函数的关系

5.1 LQR 值函数

无限时域 LQR 的最优值函数：

$$V_{\infty }^{\ast }(x)=x^{\top }{P}_{\infty }x$$

其中 $P_{\infty }$ 是 DARE 的解。

5.2 MPC 值函数与 LQR 的关系

当 $P=P_{\infty }$ 且无约束时：

$$J^{\ast }(x)=V_{\infty }^{\ast }(x)=x^{\top }{P}_{\infty }x$$

此时 MPC 最优值函数等于LQR 值函数。

5.3 有约束情况

有约束时：

$$J^{\ast }(x)\ge x^{\top }{P}_{\infty }x$$

因为约束增加了限制，最优代价不会小于无约束情况。

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六、下降性分析的预备

6.1 下降性条件

需要证明：

$$\Delta J^{\ast }=J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))<0,\forall x(k)\ne 0$$

6.2 证明思路

利用 Shift 构造：

1. 构造时刻 $k+1$ 的候选解 ${\tilde{U}}_{k+1}$
2. 计算 $J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))$
3. 利用最优性不等式 $J^{\ast }(x(k+1))\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$

详细推导

见 02-Lyapunov 函数下降性推导

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七、总结

性质	条件	结论
$J^{\ast }(0)=0$	无	成立
$J^{\ast }(x)>0$	$Q\succ 0$ 或 $(A,Q^{1/2})$ 可检测	成立
径向无界	$Q\succ 0$	成立
Lyapunov 候选	上述条件	✅ $J^{\ast }(x)$ 是合格的 Lyapunov 候选

相关内容

下降性推导见 02-Lyapunov 函数下降性推导 LQR 值函数见 02-离散代数 Riccati 方程 DARE 求解 Shift 构造见 02-基于 Shift 操作的可行解构造

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本