Lyapunov 函数下降性推导

一、下降性定理

1.1 主定理

定理（最优值函数下降性）：对于带合适终端设计的 MPC，最优值函数沿闭环轨迹满足：

$$J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))\le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)<0,\forall x(k)\ne 0$$

1.2 终端设计条件

下降性成立需要以下终端设计条件之一：

终端设计	条件
终端等式约束	$x_{N
终端不等式约束	$x_{N
无终端约束	$P=P_{\infty }$ 且 $N$ 足够大

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二、证明：终端等式约束情况

2.1 假设条件

假设：

1. 终端等式约束：$x_{N|k}=0$
2. 时刻 $k$ 的问题可行，最优解为 $U_k^{\ast }$
3. 权重矩阵 $Q⪰0$，$R\succ 0$，$P⪰0$

2.2 时刻 $k$ 的最优解

设时刻 $k$ 的最优控制序列和状态轨迹为：

$$U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$$ $$X_k^{\ast }=\{x_{0|k}^{\ast },x_{1|k}^{\ast },\dots ,x_{N|k}^{\ast }\}$$

其中 $x_{0|k}^{\ast }=x(k)$，$x_{N|k}^{\ast }=0$（终端等式约束）。

最优值为：

$$J^{\ast }(x(k))=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\ast \top }Q{x}_{i|k}^{\ast }+u_{i|k}^{\ast \top }R{u}_{i|k}^{\ast })+\underset{=0}{\underbrace{x_{N|k}^{\ast \top }P{x}_{N|k}^{\ast }}}$$

2.3 Shift 构造候选解

构造时刻 $k+1$ 的候选控制序列：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },0\}$$

对应的状态轨迹：

$${\tilde{X}}_{k+1}=\{x_{1|k}^{\ast },x_{2|k}^{\ast },\dots ,x_{N|k}^{\ast },x_{N+1|k}^{\ast }\}$$

其中：

$$x_{N+1|k}^{\ast }=A{x}_{N|k}^{\ast }+B\cdot 0=A\cdot 0+B\cdot 0=0$$

2.4 候选解的代价

候选解 ${\tilde{U}}_{k+1}$ 的代价为：

$$\begin{array}{rl}J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})& =\sum _{i=0}^{N-1}({\tilde{x}}_{i|k+1}^{\top }Q{\tilde{x}}_{i|k+1}+{\tilde{u}}_{i|k+1}^{\top }R{\tilde{u}}_{i|k+1})+{\tilde{x}}_{N|k+1}^{\top }P{\tilde{x}}_{N|k+1}\\ & =\sum _{i=1}^{N-1}(x_{i|k}^{\ast \top }Q{x}_{i|k}^{\ast }+u_{i|k}^{\ast \top }R{u}_{i|k}^{\ast })+(0^{\top }Q0+0^{\top }R0)+0^{\top }P0\\ & =\sum _{i=1}^{N-1}(x_{i|k}^{\ast \top }Q{x}_{i|k}^{\ast }+u_{i|k}^{\ast \top }R{u}_{i|k}^{\ast })\end{array}$$

2.5 代价差计算

计算 $J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))$：

$$\begin{array}{rl}& J^{\ast }(x(k))=x(k{)}^{\top }Qx(k)+u(k{)}^{\top }Ru(k)+\sum _{i=1}^{N-1}(x_{i|k}^{\ast \top }Q{x}_{i|k}^{\ast }+u_{i|k}^{\ast \top }R{u}_{i|k}^{\ast })\\ & J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})=\sum _{i=1}^{N-1}(x_{i|k}^{\ast \top }Q{x}_{i|k}^{\ast }+u_{i|k}^{\ast \top }R{u}_{i|k}^{\ast })\end{array}$$

因此：

$$J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))=-x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)$$

2.6 利用最优性不等式

由于 $U_{k+1}^{\ast }$ 是时刻 $k+1$ 的最优解，${\tilde{U}}_{k+1}$ 是可行解：

$$J^{\ast }(x(k+1))\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$$

因此：

$$\begin{array}{rl}{J}^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))& \le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))\\ & =-x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)\end{array}$$

2.7 下降性结论

由于 $Q⪰0$，$R\succ 0$：

$$-x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)<0,\forall x(k)\ne 0,u(k)\ne 0$$

若 $x(k)\ne 0$，则至少 $x(k{)}^{\top }Qx(k)>0$（若 $Q\succ 0$）或通过可检测性保证下降。

因此：

$$J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))<0,\forall x(k)\ne 0$$

证毕。

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三、证明：终端不等式约束情况

3.1 假设条件

假设：

1. 终端不等式约束：$x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f$
2. 终端权重 $P=P_{\infty }$（DARE 解）
3. 终端控制律 $u=-K_{\infty }x$，其中 $K_{\infty }$ 是 LQR 增益

3.2 Shift 构造

构造时刻 $k+1$ 的候选控制序列：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },-K_{\infty }{x}_{N|k}^{\ast }\}$$

对应的状态轨迹：

$${\tilde{X}}_{k+1}=\{x_{1|k}^{\ast },x_{2|k}^{\ast },\dots ,x_{N|k}^{\ast },(A-B{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }\}$$

3.3 终端代价变化

终端代价的变化：

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{x}}_{N|k+1}^{\top }P{\tilde{x}}_{N|k+1}-x_{N|k}^{\ast \top }P{x}_{N|k}^{\ast }\\ =& ((A-B{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }{)}^{\top }P((A-B{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast })-x_{N|k}^{\ast \top }P{x}_{N|k}^{\ast }\\ =& x_{N|k}^{\ast \top }((A-B{K}_{\infty }{)}^{\top }P(A-B{K}_{\infty })-P)x_{N|k}^{\ast }\end{array}$$

利用 DARE 方程的 Lyapunov 形式：

$$P-(A-B{K}_{\infty }{)}^{\top }P(A-B{K}_{\infty })=Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty }$$

因此：

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{x}}_{N|k+1}^{\top }P{\tilde{x}}_{N|k+1}-x_{N|k}^{\ast \top }P{x}_{N|k}^{\ast }\\ =& -x_{N|k}^{\ast \top }(Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }\end{array}$$

3.4 完整代价差

$$\begin{array}{rl}& J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))\\ =& -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)\\ & -x_{N|k}^{\ast \top }(Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }\end{array}$$

3.5 下降性结论

$$\begin{array}{rl}{J}^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))& \le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)\\ & -x_{N|k}^{\ast \top }(Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }\\ & \le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)\\ & <0,\forall x(k)\ne 0\end{array}$$

证毕。

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四、关键步骤总结

步骤	关键操作
1. Shift 构造	$\tilde{U}{k+1} = {u{1
2. 候选解代价	计算 $J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$
3. 代价差	$J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))$
4. 最优性不等式	$J^{\ast }(x(k+1))\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$
5. 下降性	$\Delta J^{\ast }\le -x^{\top }Qx-u^{\top }Ru<0$

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五、不同终端设计的对比

终端设计	下降性证明	终端项贡献
终端等式约束 $x_N=0$	简单，终端项为零	0
终端不等式约束 + $P=P_{\infty }$	需 DARE 方程	$-x_N^{\top }(Q+K^{\top }RK)x_N$
无终端约束 + $P=P_{\infty }$	需 $N$ 足够大	近似为零

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六、示例：数值验证

6.1 系统参数

$$A=0.8,B=0.2,Q=1,R=1,P=P_{\infty }\approx 2.09$$

6.2 仿真结果

$k$	$x(k)$	$J^{\ast }(x(k))$	$\Delta J^{\ast }$	$-x^{\top }Qx-u^{\top }Ru$
0	1.00	2.09	-	-1.38
1	0.68	0.97	-1.12	-0.60
2	0.46	0.44	-0.53	-0.26
3	0.31	0.20	-0.24	-0.12

6.3 验证

$$\Delta J^{\ast }\le -x^{\top }Qx-u^{\top }Ru$$

在所有时刻都成立。

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七、总结

概念	公式
下降性	$J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))\le -x^{\top }Qx-u^{\top }Ru$
关键工具	Shift 构造 + 最优性不等式
终端条件	等式约束 / 不等式约束+$P=P_{\infty }$
Lyapunov 函数	$V(x)=J^{\ast }(x)$ 满足 $\Delta V<0$

相关内容

Lyapunov 候选见 01-最优值函数作为 Lyapunov 候选 稳定性结论见 03-渐近稳定性结论与收敛速率 Shift 构造见 02-基于 Shift 操作的可行解构造

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本