终端等式约束下的稳定性局限

一、终端等式约束设计

1.1 问题 formulation

终端等式约束 MPC要求预测时域末端状态严格为零：

$$\begin{array}{rl}\underset{U_k}{\min }& J_N(x(k),U_k)=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})\\ \text{s.t.}& x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & \boxed{x_{N|k}=0}\text{（终端等式约束）}\end{array}$$

1.2 历史背景

终端等式约束是早期 MPC 稳定性分析采用的设计：

优点	缺点
稳定性证明简单直接	可行域${\mathcal{F}}_N$ 最小
无需计算终端集${\mathcal{X}}_f$	保守性强，限制应用范围
终端代价为零，简化计算	需要更长的预测时域$N$

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二、可行域局限性

2.1 $N$ 步能控集

定义（$N$ 步能控集）：终端等式约束下的可行域${\mathcal{F}}_N^0$ 是**$N$ 步能控集**：

$${\mathcal{F}}_N^0=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k\text{ s.t. }{x}_{N|k}=0\text{ 且约束满足}\}$$

性质：

• ${\mathcal{F}}_N^0\subseteq {\mathcal{F}}_N^{\text{ineq}}\subseteq {\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$
• ${\mathcal{F}}_N^0$ 随$N$ 增大而增大，但增速缓慢
• 对于小$N$，${\mathcal{F}}_N^0$ 可能远小于状态约束集$\mathcal{X}$

2.2 可行域对比

终端设计	可行域符号	相对大小
终端等式 $x_N=0$	${\mathcal{F}}_N^0$	最小
终端不等式$x_N\in {\mathcal{X}}_f$	${\mathcal{F}}_N^{\text{ineq}}$	中等
无终端约束	${\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$	最大

$${\mathcal{F}}_N^0\subset {\mathcal{F}}_N^{\text{ineq}}\subset {\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$$

2.3 数值示例

考虑二阶系统：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$

约束：

$$\mathcal{X}=\{x\mid |x_1|\le 1,|x_2|\le 10\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

$N$	${\mathcal{F}}_N^0$（等式）	${\mathcal{F}}_N^{\text{ineq}}$（不等式）	${\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$（无约束）
5	$	x_1	\leq 0.3$
10	$	x_1	\leq 0.6$
20	$	x_1	\leq 0.85$

观察：

• 终端等式约束的可行域最小
• 增大$N$ 可扩展可行域，但计算成本增加
• 对于相同的$N$，终端等式约束的可行域仅为无约束情况的$30\%\sim 60\%$

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三、保守性分析

3.1 保守性来源

终端等式约束的保守性来源于：

物理意义：强制系统在$N$ 步内精确到达原点，这在实际系统中往往是不必要且过于严格的要求。

保守性链条：

x_N = 0  （强制归零）
    ↓
需要更大的控制作用
    ↓
可能违反输入约束 U
    ↓
缩小可行域 F_N
    ↓
限制 MPC 可处理的状态范围

3.2 与无限时域最优控制的差距

无限时域 LQR 的最优控制律：

$$u(k)=-K_{\infty }x(k)$$

对应的状态轨迹：

$$x(k)\to 0\text{当}k\to \infty$$

关键观察：

• LQR 允许状态渐近收敛到原点
• 终端等式约束要求状态在有限步$N$ 内到达原点
• 这引入了不必要的保守性

3.3 性能损失

由于可行域缩小，终端等式约束 MPC 可能：

1. 无法处理大初始偏差：$x(0)\notin {\mathcal{F}}_N^0$ 时问题不可行
2. 需要更大的$N$：增加在线计算负担
3. 控制性能下降：保守设计导致次优性能

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四、稳定性证明回顾

4.1 终端等式约束的稳定性证明

定理：对于终端等式约束 MPC，若$Q⪰0$，$R\succ 0$，则闭环系统渐近稳定。

证明思路（见02-Lyapunov 函数下降性推导）：

1. Shift 构造：

   $${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },0\}$$

2. 终端状态：

   $${\tilde{x}}_{N|k+1}=A{x}_{N|k}^{\ast }+B\cdot 0=A\cdot 0+B\cdot 0=0$$

   候选解可行。

3. 代价差：

   $$J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))=-x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)$$

4. 最优性不等式：

   $$J^{\ast }(x(k+1))\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$$

   因此：

   $$\Delta J^{\ast }\le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)<0$$

证毕。

4.2 证明的”代价”

虽然稳定性证明简单直接，但这是以牺牲可行域大小为代价的：

设计	证明复杂度	可行域大小
终端等式约束	简单	最小
终端不等式约束	中等（需 DARE）	中等
无终端约束	复杂（需$N$ 足够大）	最大

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五、改进方向

5.1 终端不等式约束

放松终端条件：

$$x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f\text{（而非}{x}_{N|k}=0\text{）}$$

其中${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集，满足：

$$\forall x\in {\mathcal{X}}_f,\exists u=-Kx\in \mathcal{U}\text{ s.t. }(A-BK)x\in {\mathcal{X}}_f$$

优势：

• 可行域${\mathcal{F}}_N$ 显著扩大
• 仍能保证递归可行性和稳定性

5.2 无终端约束

完全移除终端约束，仅要求：

• $P=P_{\infty }$（DARE 解）
• $N$ 足够大

优势：

• 可行域最大
• 实现最简单
• 但稳定性证明最复杂

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六、总结

方面	终端等式约束
稳定性证明	简单直接
可行域大小	最小（$N$ 步能控集）
保守性	高（强制$N$ 步归零）
计算复杂度	低（无需终端集）
适用场景	理论分析、教学示例
实际应用	不推荐（过于保守）

核心结论

终端等式约束虽然稳定性证明简单，但其可行域最小、保守性最强，在实际应用中通常不推荐。

现代 MPC 设计更倾向于使用终端不等式约束或无终端约束设计。

相关内容

终端不等式约束见02-终端不等式约束与终端集 Xf 可行域计算见02-初始可行域与最大吸引域 无终端约束稳定性见03-无终端约束的稳定性条件

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本