硬约束与可行域几何特性

一、硬约束定义

1.1 状态硬约束

状态必须满足的约束：

$$x(k)\in \mathcal{X}=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid G_{x}x\le g_x\}$$

1.2 输入硬约束

输入必须满足的约束：

$$u(k)\in \mathcal{U}=\{u\in {\mathbb{R}}^m\mid G_{u}u\le g_u\}$$

1.3 硬约束的含义

硬约束 (Hard Constraints)：必须严格满足，否则优化问题不可行 (Infeasible)。

不可行问题

若不存在满足所有约束的控制序列，则 QP 问题无解，MPC 控制器”失效”。

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二、可行域定义

2.1 可行控制序列集合

定义在时刻 $k$ 的可行控制序列集合：

$${\mathcal{U}}_N(x(k))=\{U_k\mid \text{所有约束满足}\}$$

具体展开：

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{U}}_N(x(k))=\{U_k\mid & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k}\\ & x_{0|k}=x(k)\}\end{array}$$

2.2 可行域 (Feasible Set)

可行域是所有存在可行控制序列的初始状态集合：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in \mathcal{X}\mid {\mathcal{U}}_N(x)\ne \varnothing \}$$

初始状态必须属于可行域

MPC 问题有解的前提是 $x(k)\in {\mathcal{F}}_N$。

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三、可行域的几何特性

3.1 闭凸集性质

命题：若 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{U}$ 是闭凸集（多面体），则可行域 ${\mathcal{F}}_N$ 也是闭凸集。

证明思路：

1. $\mathcal{X},\mathcal{U}$ 是多面体（线性不等式定义）
2. 系统动态 $x_{i+1}=A{x}_i+B{u}_i$ 是线性映射
3. 线性映射保持凸性
4. 多个凸集的交集仍是凸集
5. 闭集的线性原像是闭集

3.2 多面体表示

可行域 ${\mathcal{F}}_N$ 可表示为多面体：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid F_{N}x\le f_N\}$$

其中 $F_N,f_N$ 可通过投影方法从联合约束集计算得到。

3.3 有界性

命题：若 $\mathcal{X}$ 有界且系统稳定，则 ${\mathcal{F}}_N$ 有界。

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四、可行域的计算

4.1 一步可行集 ($N=1$)

$${\mathcal{F}}_1=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in \mathcal{X}\}$$

4.2 多步可行集 ($N>1$)

递归定义：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in {\mathcal{F}}_{N-1}\}$$

4.3 极限可行域

当 $N\to \infty$ 时：

$${\mathcal{F}}_{\infty }=\bigcup _{N=1}^{\infty }{\mathcal{F}}_N$$

${\mathcal{F}}_{\infty }$ 是最大可控集，包含所有能在规定约束下控制到原点（或终端集）的状态。

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五、约束耦合与可行域收缩

5.1 约束耦合效应

状态约束和输入约束可能耦合，导致可行域缩小：

状态约束 X：    x ∈ [-1, 1]
输入约束 U：    u ∈ [-0.5, 0.5]
系统动态：      x(k+1) = 0.8x(k) + 0.2u(k)

可行域 F ⊂ X：实际可用的状态范围比 X 小

5.2 示例：耦合分析

考虑状态约束 $|x|\le 1$ 和输入约束 $|u|\le 0.5$，系统 $x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k)$。

若当前状态 $x(k)=0.9$：

• 下一状态：$x(k+1)=0.72+0.2u(k)$
• 要求 $|x(k+1)|\le 1$
• 即 $|0.72+0.2u(k)|\le 1$
• 解得 $-1.36\le u(k)\le 1.4$

但输入约束要求 $|u|\le 0.5$，因此可行。

若 $x(k)=0.99$：

• $x(k+1)=0.792+0.2u(k)$
• 要求 $|0.792+0.2u|\le 1$
• 解得 $-8.96\le u\le 1.04$

与 $|u|\le 0.5$ 取交集，仍可行。

但若 $x(k)>1$，则已违反状态约束，问题不可行。

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六、非空可行域的条件

6.1 基本条件

可行域非空的必要条件：

$$0\in {\mathcal{F}}_N$$

即原点必须是可行的（通常假设平衡点在原点）。

6.2 充分条件

命题：若以下条件满足，则 ${\mathcal{F}}_N\ne \varnothing$：

1. $(A,B)$ 能控
2. $\mathcal{X},\mathcal{U}$ 是包含原点的闭凸集
3. 存在控制律使状态从某 $x$ 收敛到原点且满足约束

6.3 终端集的影响

若引入终端集 ${\mathcal{X}}_f$，可行域定义为：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k\text{ s.t. }{x}_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f\}$$

终端集越大，可行域越大。

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七、可行域的数值计算

7.1 投影方法

可行域可通过投影（Projection）计算：

$${\mathcal{F}}_N={\text{Proj}}_x\{(x,U)\mid \text{所有约束满足}\}$$

7.2 软件工具

工具	功能
MPT (MATLAB)	多参数工具箱，计算可行域
YALMIP	优化建模，支持投影
PPL	多面体库

7.3 计算复杂度

可行域计算的复杂度随 $N$ 指数增长：

• $N$ 每增加 1，变量数增加 $m$
• 投影复杂度约为 $O(2^{n+Nm})$

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八、总结

概念	数学表达	性质
状态约束集	$\mathcal{X}=\{x\mid G_{x}x\le g_x\}$	闭凸多面体
输入约束集	$\mathcal{U}=\{u\mid G_{u}u\le g_u\}$	闭凸多面体
可行控制序列	${\mathcal{U}}_N(x)=\{U\mid \text{约束满足}\}$	依赖于 $x$
可行域	${\mathcal{F}}_N=\{x\mid {\mathcal{U}}_N(x)\ne \varnothing \}$	闭凸多面体
非空条件	$0\in {\mathcal{F}}_N$	基本假设

相关内容

• 凸集描述见 02-状态与输入约束的凸集描述
• QP 建模见 01-二次规划 QP 问题建模
• 递归可行性见 03-递归可行性的初步概念

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本