终端等式约束 $x_N=0$ 设定

一、终端等式约束问题

1.1 问题描述

在 MPC 优化问题中引入终端等式约束：

$$\underset{U_k}{\min }{J}_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$$

约束条件：

$$\begin{array}{rl}& x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & \boxed{x_{N|k}=0}\text{（终端等式约束）}\end{array}$$

1.2 物理意义

终端等式约束强制预测时域末端的状态必须归零：

• 将有限时域问题转化为带锚点的调节问题
• 等价于要求系统在 $N$ 步内到达原点

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二、稳定性分析

2.1 稳定性定理

定理：对于带终端等式约束 $x_{N|k}=0$ 的 MPC，若：

1. 初始状态 $x(0)$ 可行（存在满足约束的控制序列使 $x_N=0$）
2. 权重矩阵 $Q⪰0$，$R\succ 0$，$P⪰0$
3. $(A,B)$ 能控

则闭环系统渐近稳定。

2.2 证明思路

利用最优值函数 $J^{\ast }(x)$ 作为 Lyapunov 函数：

1. 正定性：$J^{\ast }(x)\ge 0$，且 $J^{\ast }(x)=0⟺x=0$

2. 下降性：利用 State Shift 构造候选解

   $$J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))\le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)<0$$

3. 渐近稳定性：由 Lyapunov 稳定性定理得证

2.3 终端条件的关键作用

终端等式约束 $x_{N|k}=0$ 保证了：

• 终端状态代价 $x_N^{\top }P{x}_N=0$
• State Shift 构造的候选解在终端处为零，自动可行
• 无需设计复杂的终端集

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三、可行域分析

3.1 可行域定义

带终端等式约束的可行域：

$${\mathcal{F}}_N^0=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k\text{ s.t. }{x}_N=0\text{ 且所有约束满足}\}$$

3.2 能控集关系

${\mathcal{F}}_N^0$ 是**$N$ 步能控集**：

• 包含所有能在 $N$ 步内控制到原点的状态
• 满足 ${\mathcal{F}}_1^0\subseteq {\mathcal{F}}_2^0\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal{F}}_{\infty }^0$

3.3 可行域大小

设计	可行域大小	说明
终端等式约束 $x_N=0$	小	最保守
终端不等式约束 $x_N\in {\mathcal{X}}_f$	中	${\mathcal{X}}_f$ 大小决定
无终端约束	大	但需 $N$ 足够大

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四、终端等式约束的局限性

4.1 可行域收缩

强制 $x_N=0$ 会显著缩小可行域：

状态空间
┌─────────────────┐
│   X (状态约束)    │
│   ┌─────────┐   │
│   │  F_N^0  │   │  ← 终端等式约束可行域
│   │  (小)   │   │
│   └─────────┘   │
└─────────────────┘

4.2 计算刚性问题

问题	说明
优化难度增加	等式约束比不等式约束更难满足
数值条件变差	约束矩阵秩缺陷风险
可能需要更大 $N$	补偿可行域收缩

4.3 保守性分析

终端等式约束是最保守的终端设计：

• 要求状态在有限步内精确到达原点
• 实际应用中可能过于严格
• 性能次优（为保守性付出代价）

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五、示例：一阶系统对比

5.1 系统参数

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k),|u|\le 1$$

5.2 终端等式约束 $x_N=0$

$N=5$ 时，可行域：

$${\mathcal{F}}_5^0=\{x\mid |x|\le 3.36\}$$

5.3 无终端约束

$N=5$ 时，可行域：

$${\mathcal{F}}_5=\{x\mid |x|\le 5\}$$

5.4 观察

终端等式约束使可行域缩小了约 $33\%$。

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六、适用场景

场景	是否推荐	说明
快速镇定任务	⚠️ 谨慎使用	可行域可能过小
高可靠性要求	✅ 推荐	稳定性保证简单
计算资源有限	✅ 推荐	无需计算终端集
大工作范围	❌ 不推荐	可行域收缩严重

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七、与其他终端设计的对比

终端设计	稳定性	可行域	计算复杂度	保守性
终端等式约束 $x_N=0$	✅ 保证	小	低	高
终端不等式约束 $x_N\in {\mathcal{X}}_f$	✅ 保证	中	中	中
无终端约束 + $P=P_{\infty }$	✅ 保证 ($N$ 足够大)	大	低	低
无终端约束 + $P=0$	⚠️ 需 $N$ 很大	大	低	低

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八、总结

特性	说明
定义	$x_{N
稳定性	自动保证（若能控）
可行域	$N$ 步能控集 ${\mathcal{F}}_N^0$
优点	简单，无需终端集计算
缺点	可行域小，保守
适用	小范围镇定，高可靠性要求

相关内容

• 终端不等式约束见 02-终端不等式约束与终端集 Xf
• 终端设计影响见 03-终端设计对稳定性的影响
• 可行域见 02-硬约束与可行域几何特性

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本