终端不等式约束与终端集 $\mathcal{X}_f$

终端不等式约束与终端集 ${\mathcal{X}}_f$

一、终端不等式约束问题

1.1 问题描述

在 MPC 优化问题中引入终端不等式约束：

$$\underset{U_k}{\min }{J}_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$$

约束条件：

$$\begin{array}{rl}& x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & \boxed{x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f}\text{（终端不等式约束）}\end{array}$$

1.2 与终端等式约束的对比

约束类型	数学表达	几何意义
终端等式约束	$x_{N	k} = 0$
终端不等式约束	$x_{N	k} \in \mathcal{X}_f$

终端不等式约束允许终端状态落入一个集合而非单一原点，因此可行域更大。

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二、终端集设计条件

2.1 稳定性定理

定理：对于带终端不等式约束的 MPC，若以下条件满足：

1. 终端权重：$P$ 是 DARE 方程的解（或 $P⪰P_{\infty }$）
2. 终端集不变性：${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集
3. 约束兼容性：${\mathcal{X}}_f\subseteq \mathcal{X}$
4. 初始可行性：$x(0)\in {\mathcal{F}}_N$

则闭环系统渐近稳定。

2.2 控制不变集定义

定义（控制不变集）：集合 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{X}$ 称为控制不变集，如果对于任意 $x\in \mathcal{C}$，存在 $u\in \mathcal{U}$ 使得：

$$Ax+Bu\in \mathcal{C}$$

物理意义

一旦状态进入控制不变集，就存在控制律使状态永远留在集合内。

2.3 终端集的具体条件

终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 需满足：

$$\begin{array}{rl}& \forall x\in {\mathcal{X}}_f,\exists u=-Kx\in \mathcal{U}\text{ s.t. }\\ & (A-BK)x\in {\mathcal{X}}_f\text{（不变性）}\\ & x\in \mathcal{X}\text{（状态约束）}\end{array}$$

其中 $K$ 是局部控制律（通常取 LQR 增益 $K_{\infty }$）。

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三、终端集的计算方法

3.1 基于 LQR 的终端集

步骤：

1. 求解 DARE 得到 $P_{\infty }$ 和 LQR 增益 $K_{\infty }$

2. 定义闭环系统：$A_{cl}=A-B{K}_{\infty }$

3. 计算最大不变集：

   $${\mathcal{O}}_{\infty }=\{x\mid A_{cl}^{k}x\in \mathcal{X},K_{\infty }{A}_{cl}^{k}x\in \mathcal{U},\forall k\ge 0\}$$

4. 取终端集 ${\mathcal{X}}_f={\mathcal{O}}_{\infty }$ 或其子集

3.2 椭球终端集

当代价函数和约束具有特殊结构时，可使用椭球集：

$${\mathcal{X}}_f=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x^{\top }Px\le \alpha \}$$

其中 $\alpha >0$ 是最大允许的”能量”水平。

3.3 多面体终端集

更一般的情况，使用多面体表示：

$${\mathcal{X}}_f=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid F_{f}x\le f_f\}$$

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四、终端权重与终端集的配合

4.1 配合机制

终端权重 $P$ 和 终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 需要配合使用：

终端权重	终端集	稳定性
$P=P_{\infty }$	${\mathcal{X}}_f={\mathcal{O}}_{\infty }$	✅ 保证
$P\succ P_{\infty }$	${\mathcal{X}}_f\subseteq {\mathcal{O}}_{\infty }$	✅ 保证
$P=0$	${\mathcal{X}}_f=\{0\}$	⚠️ 需 $N$ 很大

4.2 Lyapunov 下降条件

终端集内要求最优值函数单调下降：

$$x^{\top }(A_{cl}^{\top }P{A}_{cl}-P)x\le -x^{\top }(Q+K^{\top }RK)x,\forall x\in {\mathcal{X}}_f$$

这等价于 DARE 方程在 ${\mathcal{X}}_f$ 内成立。

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五、可行域分析

5.1 可行域定义

带终端不等式约束的可行域：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k\text{ s.t. }{x}_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f\text{ 且所有约束满足}\}$$

5.2 与终端等式约束对比

终端设计	可行域	说明
$x_N=0$	${\mathcal{F}}_N^0$	最小
$x_N\in {\mathcal{X}}_f$	${\mathcal{F}}_N$	${\mathcal{X}}_f$ 越大，可行域越大
无终端约束	${\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$	最大（但需 $N$ 足够大）

5.3 终端集大小的影响

状态空间
┌─────────────────┐
│   X (状态约束)    │
│   ┌───────────┐ │
│   │  F_N      │ │  ← 可行域
│   │  ┌─────┐ │ │
│   │  │ Xf  │ │ │  ← 终端集
│   │  └─────┘ │ │
│   └───────────┘ │
└─────────────────┘

增大 ${\mathcal{X}}_f$ → 增大 ${\mathcal{F}}_N$

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六、终端集计算算法

6.1 基于线性不等式迭代的方法

适用条件：所有状态约束和输入约束都是线性的，且分别表示：

$$\mathcal{X}=\{x\mid H_{x}x\le h_x\},\mathcal{U}=\{u\mid H_{u}u\le h_u\}$$

基本思想：选取 LQR 反馈增益 $K_{\text{LQR}}$ 作为终端控制律，从 $x(N|k)$ 和 $u(N-1|k)$ 满足约束开始，通过 $K_{\text{LQR}}$ 迭代更新，每次取交集，直到找到最大的不变集。

算法步骤：

1. 初始化：

   • 计算闭环矩阵：$A_K=A-B{K}_{\text{LQR}}$
   • 构造增广约束：$H_{\text{aug}}=\left[\begin{array}{c}{H}_u\\ H_x\end{array}\right]$, $h_{\text{aug}}=\left[\begin{array}{c}{h}_u\\ h_x\end{array}\right]$

2. 迭代（$t=0,1,2,\dots$）：

   • 添加约束：$H_{\text{aug}}{K}_{\text{aug}}{A}_K^{t}x\le h_{\text{aug}}$
   • 检查新约束是否冗余（通过线性规划）
   • 若所有新约束冗余，则收敛

3. 输出：${\mathcal{X}}_f=\{x\mid {\mathcal{A}}_{\text{LP}}x\le {\mathcal{B}}_{\text{LP}}\}$

伪代码

输入：A, B, H_u, H_x, h_u, h_x, K_LQR
输出：终端集 X_f

1. A_K ← A - B*K_LQR
2. t ← 0, p_f ← 0, A_LP ← ∅, b_LP ← ∅
3. while p_f = 0:
   - A_LP ← [A_LP; H_aug*K_aug*A_K^t]
   - b_LP ← [b_LP; h_aug]
   - 对每个约束 i，求解 LP: max J[i]*x s.t. A_LP*x ≤ b_LP
   - if 所有 J[next]^(i) < h^(i): p_f ← 1, X_f ← {x | A_LP*x ≤ b_LP}
   - t ← t + 1
4. return X_f

6.2 基于最大椭球集/半定规划 (SDP) 的方法

适用条件：希望获得椭球形式的终端集 ${\mathcal{X}}_f=\{x\mid x^{\top }Px\le 1\}$。

优化问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{E,Y}{\min }& -\log \det E\\ \text{s.t.}& E\succ 0\\ & \left[\begin{array}{cccc}E& (AE+BY{)}^{\top }& Q^{1/2}E& Y^{\top }{R}^{1/2}\\ \ast & \ast & 0& 0\\ \ast & \ast & I& 0\\ \ast & \ast & \ast & I\end{array}\right]⪰0\\ & \left[\begin{array}{cc}{h}_{x,i}^2& H_{x,i}E\\ E{H}_{x,i}^{\top }& I\end{array}\right]⪰0,\forall i\\ & \left[\begin{array}{cc}{h}_{u,j}^2& H_{u,j}Y\\ Y^{\top }{H}_{u,j}^{\top }& E\end{array}\right]⪰0,\forall j\end{array}$$

其中：

• $E=P^{-1}$，$Y=KE$（变量替换）
• $\det E$ 越小，椭球集越大
• LMI 约束保证稳定性、状态约束、输入约束

恢复终端集：

$${\mathcal{X}}_f=\{x\mid x^{\top }{E}^{-1}x\le 1\},K=Y{E}^{-1}$$

6.3 方法对比

方法	优点	缺点	适用场景
线性不等式迭代	精确表示多面体	计算量大，可能无限步收敛	线性约束，低维系统
椭球集/SDP	计算高效，解析表达	保守（内接椭球）	高维系统，快速计算

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七、最大控制不变集的性质

7.1 存在性

命题：若 $(A,B)$ 能稳且约束集有界，则最大控制不变集 ${\mathcal{O}}_{\infty }$ 存在且有界。

7.2 计算收敛性

${\mathcal{O}}_{\infty }$ 可通过迭代算法计算：

$${\mathcal{O}}_{k+1}=\{x\in {\mathcal{O}}_k\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in {\mathcal{O}}_k\}$$ $${\mathcal{O}}_0=\mathcal{X}$$

当 ${\mathcal{O}}_{k+1}={\mathcal{O}}_k$ 时收敛，${\mathcal{O}}_{\infty }={\mathcal{O}}_k$。

7.3 有限步收敛

对于稳定系统，通常有限步内收敛：

• 稳定系统：$N\approx \frac{3\sim 5}{|\ln (\rho (A))|}$ 步
• 不稳定系统：可能需要无限步

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八、示例：二阶系统终端集

8.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$ $$\mathcal{X}=\{x\mid |x_1|\le 1,|x_2|\le 10\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

8.2 LQR 设计

$$Q=I,R=0.1$$

求得 $K_{\infty }$ 和 $P_{\infty }$。

8.3 终端集计算

使用迭代算法计算 ${\mathcal{O}}_{\infty }$，得到多面体：

$${\mathcal{X}}_f=\{x\mid F_{f}x\le f_f\}$$

数值结果（近似）：

$$|x_1|\le 0.5,|x_2|\le 5$$

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九、总结

概念	说明
终端不等式约束	$x_{N
终端集条件	控制不变性 + 约束兼容
终端权重	$P=P_{\infty }$（DARE 解）
可行域	比终端等式约束大
计算方法	迭代算法求最大不变集

相关内容

• 终端等式约束见 01-终端等式约束 xN=0 设定
• MAS 计算见 03-最大控制不变集 MAS 计算
• 终端设计影响见 03-终端设计对稳定性的影响

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本