有限时域代价函数构造

一、有限时域最优控制问题

1.1 问题描述

考虑有限时域最优控制问题：

• 系统动态：$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$
• 初始状态：$x(0)=x_0$ 给定
• 时域长度：$N$（有限）
• 目标：找到最优控制序列 $U=\{u(0),u(1),\dots ,u(N-1)\}$

1.2 与无限时域的区别

特性	无限时域	有限时域
求和上限	$\infty$	$N-1$
终端状态	自动趋于 0	需要特殊处理
最优控制律	时不变 $u=-Kx$	时变 $u=-K_{k}x$
计算复杂度	解 DARE	解差分方程

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二、有限时域代价函数

2.1 标准形式

有限时域 LQR 的代价函数定义为：

$$J_N(x_0,U)=\sum _{i=0}^{N-1}\left(x(i{)}^{\top }Qx(i)+u(i{)}^{\top }Ru(i)\right)+x(N{)}^{\top }Px(N)$$

其中：

• $Q⪰0$：状态权重矩阵
• $R\succ 0$：输入权重矩阵
• $P⪰0$：终端权重矩阵

2.2 终端权重的作用

终端权重的物理意义

终端权重 $P$ 用于补偿时域截断引起的性能损失。

它代表了对终端状态 $x(N)$ 的”惩罚”，防止终端状态过大。

2.3 代价函数的矩阵形式

定义增广向量和矩阵：

$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}x(0)\\ x(1)\\ ⋮\\ x(N)\end{array}\right],\mathbf{U}=\left[\begin{array}{c}u(0)\\ u(1)\\ ⋮\\ u(N-1)\end{array}\right]$$ $$\bar{Q}=\text{diag}(Q,Q,\dots ,Q,P),\bar{R}=\text{diag}(R,R,\dots ,R)$$

代价函数可写为：

$$J_N={\mathbf{X}}^{\top }\bar{Q}\mathbf{X}+{\mathbf{U}}^{\top }\bar{R}\mathbf{U}$$

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三、终端权重 $P$ 的选择

3.1 零终端权重

$$P=0$$

• 优点：简单
• 缺点：需要较长的 $N$ 才能保证性能

3.2 无限时域 DARE 解

$$P=P_{\infty }$$

其中 $P_{\infty }$ 是无限时域 DARE 的解：

$$P_{\infty }=A^{\top }{P}_{\infty }A-A^{\top }{P}_{\infty }B(R+B^{\top }{P}_{\infty }B{)}^{-1}{B}^{\top }{P}_{\infty }A+Q$$

• 优点：有限时域最优控制律等价于无限时域 LQR
• 缺点：需要先求解 DARE

3.3 有限时域 Riccati 递推解

$$P=P_N$$

其中 $P_N$ 是从 $P_0=0$（或其他初值）开始，递推 $N$ 步得到的矩阵。

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四、时域截断误差分析

4.1 截断误差定义

设无限时域最优代价为 $J_{\infty }^{\ast }$，有限时域最优代价为 $J_N^{\ast }$，截断误差为：

$$e_N=J_{\infty }^{\ast }-J_N^{\ast }$$

4.2 误差上界

若 $P=P_{\infty }$（DARE 解），则：

$$e_N=0$$

即有限时域代价与无限时域代价完全等价。

4.3 一般情况

若 $P\ne P_{\infty }$，误差满足：

$$e_N\le x(N{)}^{\top }(P_{\infty }-P)x(N)$$

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五、示例：一阶系统有限时域 LQR

5.1 系统参数

$$A=0.8,B=0.2,Q=1,R=1,N=5$$

5.2 不同终端权重的比较

终端权重 $P$	最优代价 $J_N^{\ast }$	终端状态 $x(N)$
$P=0$	2.56	0.33
$P=1$	2.38	0.28
$P=P_{\infty }\approx 2.09$	2.09	0.21

观察

• $P=P_{\infty }$ 时，最优代价等于无限时域最优代价
• 增大 $P$ 可减小终端状态，但可能增加控制代价

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六、与 MPC 的关系

6.1 MPC 的有限时域本质

MPC 在每个时刻求解的都是有限时域最优控制问题：

• 预测时域 $N$ 有限
• 需要设计终端权重 $P$ 和终端集 ${\mathcal{X}}_f$
• 通过滚动时域实现闭环稳定

6.2 终端设计选项

方案	终端权重 $P$	终端集 ${\mathcal{X}}_f$	稳定性
终端等式约束	任意	$\{0\}$	✅ 保证
终端不等式约束	$P_{\infty }$	不变集	✅ 保证
无终端约束	$P_{\infty }$	${\mathbb{R}}^n$	⚠️ 需 $N$ 足够大

相关内容

• 终端集设计见 02-终端不等式约束与终端集 Xf
• 无终端约束稳定性见 03-无终端约束的稳定性条件

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七、总结

概念	公式/说明
有限时域代价	$J_N={\sum }_{i=0}^{N-1}(x_i^{\top }Q{x}_i+u_i^{\top }R{u}_i)+x_N^{\top }P{x}_N$
终端权重作用	补偿时域截断误差
最优选择	$P=P_{\infty }$（DARE 解）→ 零截断误差
截断误差	$e_N\le x(N{)}^{\top }(P_{\infty }-P)x(N)$

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本