标称系统约束紧缩原理
一、Minkowski 和与差
1.1 Minkowski 和
定义（Minkowski 和）：两个集合 的 Minkowski 和定义为：
几何意义：将集合 沿 的所有点平移后取并集。
示例：
1.2 Minkowski 差
定义（Minkowski 差）：两个集合 的 Minkowski 差定义为：
等价定义：
几何意义：从 中”侵蚀”掉所有可能被 占据的部分。
示意图：
A A ⊖ B
┌─────┐ ┌───┐
│ ┌──┼─┐ │ │ ← 收缩后的集合
│ │ │ │ │ │
└──┼──┘ │ └───┘
└────┘
B (扰动集)
1.3 多面体的 Minkowski 运算
命题：对于多面体 和 ：
Minkowski 和： 仍是多面体，但表示复杂。
Minkowski 差：若 是有界多面体，则：
其中 是逐元素计算的最大值。
二、状态约束紧缩
2.1 原始约束与紧缩约束
原始状态约束：
误差不变集：
紧缩状态约束：
2.2 紧缩量计算
定义紧缩向量：
其中最大值是逐元素计算的：
紧缩约束：
2.3 箱型约束示例
原始约束：
误差集：
紧缩约束：
紧缩量：（误差集的最大范围）
三、输入约束紧缩
3.1 原始输入约束
原始约束：
实际控制律：
3.2 紧缩推导
为保证 ，需：
即：
定义紧缩输入约束：
3.3 紧缩量计算
输入紧缩向量：
紧缩约束：
3.4 箱型输入约束示例
原始约束：
输入紧缩：
四、终端集紧缩
4.1 标称终端集
标称终端集 通常选为控制不变集：
4.2 鲁棒终端集
鲁棒终端集 需考虑误差：
性质：若 且 ，则 。
4.3 椭球终端集示例
标称终端集：
误差不变集：
紧缩终端集（保守近似）：
其中 。
五、紧缩约束的保守性
5.1 保守性来源
| 来源 | 说明 |
|---|---|
| 最坏情况扰动 | 考虑所有可能误差 |
| 固定反馈增益 | 固定，不能在线调整 |
| 集合近似 | 的数值近似可能保守 |
5.2 保守性与性能权衡
| 设计 | 保守性 | 性能 |
|---|---|---|
| 大扰动集 | 高 | 低 |
| 紧终端集 | 高 | 低 |
| 大反馈增益 | 低（ 小） | 可能高增益代价 |
5.3 减小保守性的方法
方法 1：优化反馈增益
选择 使得 最小：
方法 2：时变 Tube
允许 Tube 截面 随时问变化，初始较大，逐渐收敛。
方法 3：弹性 Tube
允许暂时违反约束，但加入惩罚项。
六、数值示例
6.1 系统参数
约束：，
扰动：
6.2 反馈增益设计
选择 ，则 （稳定）。
6.3 误差不变集
6.4 紧缩约束
状态约束：
输入约束：
6.5 保守性分析
| 约束 | 原始范围 | 紧缩后范围 | 收缩比例 |
|---|---|---|---|
| 13% | |||
| 33% |
七、总结
| 概念 | 公式 |
|---|---|
| Minkowski 差 | |
| 状态紧缩 | |
| 输入紧缩 | |
| 终端紧缩 | |
| 紧缩量 |
核心结论
约束紧缩的原理：
- Minkowski 差：数学工具，计算”安全”区域
- 状态紧缩： 保证
- 输入紧缩： 保证
- 保守性：紧缩导致可行域缩小，需权衡鲁棒性与性能
相关内容
Tube 概念见 01-有界扰动下的状态管概念 不变集计算见 03-扰动不变集与实际轨迹可行性保证
更新记录
| 日期 | 内容 |
|---|---|
| 2026-04-10 | 初始版本 |