有界扰动下的状态管概念

一、扰动系统模型

1.1 系统方程

受扰离散时间 LTI 系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)$$

其中：

• $x(k)\in {\mathbb{R}}^n$ 是状态
• $u(k)\in {\mathbb{R}}^m$ 是控制输入
• $w(k)\in {\mathbb{R}}^n$ 是未知扰动

1.2 扰动假设

假设（有界扰动）：扰动 $w(k)$ 属于已知的有界集 $\mathcal{W}$：

$$\mathcal{W}=\{w\in {\mathbb{R}}^n\mid \Vert w{\Vert }_{\infty }\le w_{\max }\}$$

或一般地：

$$\mathcal{W}=\{w\in {\mathbb{R}}^n\mid F_{w}w\le f_w\}\text{（多面体）}$$ $$\mathcal{W}=\{w\in {\mathbb{R}}^n\mid w^{\top }Pw\le 1\}\text{（椭球）}$$

1.3 约束条件

状态约束：$x(k)\in \mathcal{X}$

输入约束：$u(k)\in \mathcal{U}$

其中 $\mathcal{X},\mathcal{U}$ 是闭凸集，通常包含原点。

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二、Tube MPC 基本思想

2.1 标称系统与实际系统

标称系统（无扰动）：

$$z(k+1)=Az(k)+Bv(k)$$

实际系统（有扰动）：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)$$

其中：

• $z(k)$ 是标称状态（规划轨迹）
• $v(k)$ 是标称控制（优化变量）
• $x(k)$ 是实际状态（受扰轨迹）

2.2 误差动态

定义误差：$e(k)=x(k)-z(k)$

误差动态方程：

$$\begin{array}{rl}e(k+1)& =x(k+1)-z(k+1)\\ & =(Ax(k)+Bu(k)+w(k))-(Az(k)+Bv(k))\\ & =Ae(k)+B(u(k)-v(k))+w(k)\end{array}$$

2.3 反馈线性化

选择实际控制律：

$$u(k)=v(k)-Ke(k)$$

其中 $K$ 是反馈增益，使得 $A-BK$ 稳定。

闭环误差动态：

$$e(k+1)=(A-BK)e(k)+w(k)$$

2.4 Tube 概念

定义（状态管）：Tube 是以标称轨迹为中心、误差为半径的”管道”：

$$\mathcal{T}(k)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x=z(k)+e,e\in \mathcal{E}\}$$

其中 $\mathcal{E}$ 是误差的不变集。

状态空间示意图：

        ┌─────────────────────────────┐
        │         约束集 X            │
        │   ┌───────────────────┐     │
        │   │  Tube T(k)        │     │
        │   │   ┌─────┐         │     │
        │   │   │ z(k)│         │     │  ← 标称轨迹
        │   │   └─────┘         │     │
        │   │    x(k) ·         │     │  ← 实际轨迹
        │   └───────────────────┘     │
        └─────────────────────────────┘

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三、误差不变集

3.1 定义

定义（鲁棒不变集）：集合 $\mathcal{E}$ 称为误差动态 $e(k+1)=(A-BK)e(k)+w(k)$ 的鲁棒不变集，如果：

$$e\in \mathcal{E},w\in \mathcal{W}⟹(A-BK)e+w\in \mathcal{E}$$

3.2 最小鲁棒不变集

定义（最小鲁棒不变集 MRPI）：

$${\mathcal{E}}_{\min }=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨁}}(A-BK{)}^i\mathcal{W}$$

性质：

• ${\mathcal{E}}_{\min }$ 是包含原点的最小不变集
• 任何不变集 $\mathcal{E}\supseteq {\mathcal{E}}_{\min }$
• 若 $\rho (A-BK)<1$，级数收敛

3.3 计算方法

迭代算法：

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{E}}_0& =\{0\}\\ {\mathcal{E}}_{k+1}& =(A-BK){\mathcal{E}}_k\oplus \mathcal{W}\end{array}$$

终止条件：${\mathcal{E}}_{k+1}\approx {\mathcal{E}}_k$（达到数值收敛）

或对于多面体 $\mathcal{W}$，可在有限步内达到精确表示。

3.4 显式计算（一维示例）

系统：$e(k+1)=ae(k)+w(k)$，$|a|<1$，$|w(k)|\le w_{\max }$

最小不变集：

$${\mathcal{E}}_{\min }=\left[-\frac{w_{\max }}{1-|a|},\frac{w_{\max }}{1-|a|}\right]$$

示例：$a=0.5$，$w_{\max }=0.1$

$${\mathcal{E}}_{\min }=[-0.2,0.2]$$

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四、Tube MPC 架构

4.1 双层控制结构

┌─────────────────────────────────────────┐
│           上层：标称 MPC                 │
│   优化标称轨迹 z(k) 和标称控制 v(k)       │
│   约束：z ∈ X_t, v ∈ U_t (紧缩约束)     │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  │ z(k), v(k)
                  ↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│          下层：反馈校正                  │
│   测量 x(k)，计算 e(k) = x(k) - z(k)    │
│   实际控制：u(k) = v(k) - K e(k)        │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  │
     u(k) 作用于受扰系统

4.2 约束紧缩

关键思想：为保证实际状态 $x(k)\in \mathcal{X}$，需对标称状态 $z(k)$ 施加更紧的约束。

$$x(k)=z(k)+e(k)\in \mathcal{X}$$ $$z(k)\in \mathcal{X}\ominus \mathcal{E}\triangleq {\mathcal{X}}_t$$

其中 $\ominus$ 是 Minkowski 差：

$$\mathcal{X}\ominus \mathcal{E}=\{z\mid z+e\in \mathcal{X},\forall e\in \mathcal{E}\}$$

4.3 输入约束紧缩

类似地，输入约束：

$$u(k)=v(k)-Ke(k)\in \mathcal{U}$$ $$v(k)\in \mathcal{U}\ominus K\mathcal{E}\triangleq {\mathcal{U}}_t$$

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五、标称 MPC 问题

5.1 优化问题

Tube MPC 标称优化问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{V_k}{\min }& J_N(z(k),V_k)=\sum _{i=0}^{N-1}(z_{i|k}^{\top }Q{z}_{i|k}+v_{i|k}^{\top }R{v}_{i|k})+z_{N|k}^{\top }P{z}_{N|k}\\ \text{s.t.}& z_{i+1|k}=A{z}_{i|k}+B{v}_{i|k}\\ & z_{i|k}\in {\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{E}\\ & v_{i|k}\in {\mathcal{U}}_t=\mathcal{U}\ominus K\mathcal{E}\\ & z_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f^t\text{（紧缩终端集）}\end{array}$$

5.2 初始条件

关键点：标称状态的初始条件 $z(0)$ 可以自由选择，不要求 $z(0)=x(0)$。

优化自由度：选择 $z(0)$ 使得优化问题可行且性能最优。

约束：

$$x(0)-z(0)\in \mathcal{E}$$

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六、Tube 性质总结

6.1 Tube 的几何特性

特性	说明
中心	标称轨迹 $z(k)$
截面	误差不变集 $\mathcal{E}$
平移	Tube 随 $z(k)$ 移动
形状	由 $\mathcal{E}$ 的几何形状决定

6.2 不变性保证

命题：若 $e(0)\in \mathcal{E}$，则 $e(k)\in \mathcal{E}$ 对所有 $k\ge 0$ 成立。

推论：若 $z(k)\in {\mathcal{X}}_t$，则 $x(k)=z(k)+e(k)\in \mathcal{X}$。

6.3 保守性分析

因素	对保守性的影响
扰动上界 $\mathcal{W}$ 大小	$\mathcal{W}\uparrow ⟹$ 保守性$\uparrow$
反馈增益 $K$	$K$ 影响$\mathcal{E}$ 大小
约束紧缩	${\mathcal{X}}_t\subset \mathcal{X}$

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七、数值示例

7.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$

扰动：$\mathcal{W}=\{w\mid \Vert w{\Vert }_{\infty }\le 0.05\}$

约束：$\mathcal{X}=\{x\mid \Vert x{\Vert }_{\infty }\le 5\}$，$\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$

7.2 反馈增益设计

选择 LQR 增益：

$$K=\left[\begin{array}{cc}0.87& 1.07\end{array}\right]$$

闭环矩阵 $A-BK$ 的特征值：$0.78,0.85$（稳定）

7.3 误差不变集

计算得：

$$\mathcal{E}\approx \{e\mid \Vert e{\Vert }_{\infty }\le 0.3\}$$

7.4 紧缩约束

$${\mathcal{X}}_t=\{x\mid \Vert x{\Vert }_{\infty }\le 5-0.3\}=\{x\mid \Vert x{\Vert }_{\infty }\le 4.7\}$$ $${\mathcal{U}}_t=\{u\mid |u|\le 1-\Vert K{\Vert }_{\infty }\cdot 0.3\}\approx \{u\mid |u|\le 0.7\}$$

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八、总结

概念	公式/说明
标称系统	$z(k+1)=Az(k)+Bv(k)$
误差动态	$e(k+1)=(A-BK)e(k)+w(k)$
实际控制	$u(k)=v(k)-Ke(k)$
Tube	$\mathcal{T}(k)=z(k)\oplus \mathcal{E}$
约束紧缩	${\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{E}$
不变性	$e(0)\in \mathcal{E}⟹e(k)\in \mathcal{E}$

核心结论

Tube MPC 的核心思想是：

1. 分解：将受扰系统分解为标称系统 + 误差动态
2. Tube：实际轨迹在标称轨迹周围的管内
3. 紧缩：对标称系统施加紧缩约束保证实际约束满足

相关内容

约束紧缩见 02-标称系统约束紧缩原理 不变集计算见 03-扰动不变集与实际轨迹可行性保证 扰动可行性见 03-扰动下的可行性鲁棒性分析

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本