无终端约束的稳定性条件

一、无终端约束 MPC 设计

1.1 问题 formulation

无终端约束 MPC移除了终端状态约束，仅保留终端代价：

$$\begin{array}{rl}\underset{U_k}{\min }& J_N(x(k),U_k)=\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}\\ \text{s.t.}& x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & \boxed{\text{无终端状态约束}}\end{array}$$

1.2 设计特点

特点	说明
实现简单	无需计算终端集${\mathcal{X}}_f$
可行域最大	无终端约束限制
稳定性条件复杂	需$P=P_{\infty }$ 且$N$ 足够大
计算效率高	约束数量减少

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二、稳定性充分条件

2.1 主定理

定理（无终端约束稳定性）：对于无终端约束 MPC，若：

1. 终端权重：$P=P_{\infty }$（DARE 解）
2. 预测时域：$N\ge N_{\min }$（足够大）
3. 权重矩阵：$Q⪰0$，$R\succ 0$
4. 可检测性：$(A,Q^{1/2})$ 可检测

则闭环系统渐近稳定。

2.2$N_{\min }$ 的含义

定义：$N_{\min }$ 是保证稳定性所需的最小预测时域。

影响因素：

因素	对$N_{\min }$ 的影响
系统开环稳定性	稳定系统$N_{\min }$ 较小
权重$Q,R$ 选择	$R$ 越大，$N_{\min }$ 越大
状态/输入约束	约束越紧，$N_{\min }$ 越大
初始状态范围	范围越大，$N_{\min }$ 越大

2.3$N$ 足够大的直观解释

无限时域近似：

$$J_N(x,U)\approx J_{\infty }(x,U)=\sum _{i=0}^{\infty }(x_i^{\top }Q{x}_i+u_i^{\top }R{u}_i)$$

当$N$ 足够大时：

• 有限时域代价$J_N$ 接近无限时域代价$J_{\infty }$
• 终端权重$P=P_{\infty }$ 补偿了$N$ 步之后的代价
• 最优控制序列接近 LQR 最优控制

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三、稳定性证明思路

3.1 证明难点

无终端约束的稳定性证明比终端等式/不等式约束更复杂，原因：

1. 无显式终端约束：不能直接保证$x_{N|k}$ 的性质
2. Shift 构造的可行性：需证明 Shift 后的解仍然可行
3. 终端代价变化：需估计$x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}$ 的变化

3.2 关键引理

引理（终端状态衰减）：若$P=P_{\infty }$ 且$N$ 足够大，则：

$$x_{N|k}^{\ast \top }{P}_{\infty }{x}_{N|k}^{\ast }\le \epsilon (N)\cdot x(k{)}^{\top }{P}_{\infty }x(k)$$

其中$\epsilon (N)\to 0$ 当$N\to \infty$。

物理意义：最优轨迹的终端状态随$N$ 增大而趋近于零。

3.3 证明概要

步骤 1：Shift 构造

时刻$k$ 的最优解为$U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$。

构造时刻$k+1$ 的候选解：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },-K_{\infty }{\tilde{x}}_{N|k+1}\}$$

其中${\tilde{x}}_{N|k+1}=A{x}_{N-1|k}^{\ast }+B{u}_{N-1|k}^{\ast }$。

步骤 2：候选解可行性

需证明当$N$ 足够大时：

• ${\tilde{x}}_{N|k+1}$ 足够小，使得$-K_{\infty }{\tilde{x}}_{N|k+1}\in \mathcal{U}$
• 后续 LQR 控制律产生的轨迹满足约束

步骤 3：代价差估计

$$\begin{array}{rl}& J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))\\ =& -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)\\ & +\underset{\text{终端代价变化}}{\underbrace{({\tilde{x}}_{N|k+1}^{\top }P{\tilde{x}}_{N|k+1}-x_{N|k}^{\ast \top }P{x}_{N|k}^{\ast })}}\\ & +\underset{\text{LQR 尾项}}{\underbrace{\sum _{i=N}^{\infty }(x_i^{\top }Q{x}_i+u_i^{\top }R{u}_i)}}\end{array}$$

步骤 4：$N$ 足够大的作用

当$N\ge N_{\min }$ 时：

• 终端状态$x_{N|k}^{\ast }$ 足够小
• 终端代价变化可被$L$QR 尾项吸收
• 总体满足$\Delta J^{\ast }<0$

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四、$N_{\min }$ 的估计方法

4.1 理论估计

命题：对于无约束 LTI 系统，若$P=P_{\infty }$，则：

$$N_{\min }\approx \frac{\log (\epsilon )}{\log (\rho (A_{\text{cl}}))}$$

其中：

• $\rho (A_{\text{cl}})$ 是闭环谱半径，$A_{\text{cl}}=A-B{K}_{\infty }$
• $\epsilon$ 是期望的终端状态衰减因子

4.2 数值估计方法

方法 1：仿真法

1. 选择一系列 N 值：N = 5, 10, 15, ...
2. 对每个 N，仿真闭环系统
3. 检查是否稳定（状态是否收敛）
4. 最小的稳定 N 即为 N_min

方法 2：特征值分析

1. 计算闭环矩阵 A_cl = A - B K_∞
2. 计算谱半径 ρ(A_cl)
3. 根据收敛速度要求估计 N_min

4.3 经验法则

系统类型	推荐$N$
开环稳定	$N\ge 10$
开环不稳定	$N\ge 20$
快动态（$\rho (A)\ll 1$）	$N\ge 5$
慢动态（$\rho (A)\approx 1$）	$N\ge 30$

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五、与终端约束设计的对比

5.1 稳定性条件对比

设计	稳定性条件	证明难度
终端等式约束	无条件稳定	简单
终端不等式约束	$P=P_{\infty }$，${\mathcal{X}}_f$ 不变集	中等
无终端约束	$P=P_{\infty }$ 且$N\ge N_{\min }$	复杂

5.2 可行域对比

设计	可行域	保守性
终端等式约束	${\mathcal{F}}_N^0$（$N$ 步能控集）	高
终端不等式约束	${\mathcal{F}}_N^{\text{ineq}}$	中等
无终端约束	${\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$	低

$${\mathcal{F}}_N^0\subset {\mathcal{F}}_N^{\text{ineq}}\subset {\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$$

5.3 实际应用建议

场景	推荐设计
理论研究/教学	终端等式约束（证明简单）
工业应用	终端不等式约束（平衡性能与复杂度）
快速原型	无终端约束（实现简单）
高维系统	无终端约束（避免终端集计算）

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六、数值示例

6.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1.2& 0.1\\ 0& 0.8\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$ $$Q=I,R=1$$

6.2 DARE 解

$$P_{\infty }=\left[\begin{array}{cc}5.25& 0.42\\ 0.42& 3.18\end{array}\right],K_{\infty }=\left[\begin{array}{cc}0.18& 0.52\end{array}\right]$$

6.3 不同$N$ 的稳定性

| $N$ | 终端状态$\Vert x_{N|0}\Vert$ | 闭环稳定性 | |-----|----------------------|------------| | 5 | 0.85 | ⚠️ 临界稳定 | | 10 | 0.32 | ✅ 稳定 | | 15 | 0.12 | ✅ 稳定 | | 20 | 0.05 | ✅ 稳定 |

观察：

• $N\ge 10$ 时闭环稳定
• $N$ 越大，终端状态越小
• 对于此系统，$N_{\min }\approx 10$

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七、总结

方面	无终端约束设计
稳定性条件	$P=P_{\infty }$ 且$N\ge N_{\min }$
可行域	最大（无终端约束限制）
实现复杂度	最低（无需终端集计算）
证明难度	最高（需$N$ 足够大的技术引理）
适用场景	高维系统、快速原型、近似无限时域

核心结论

无终端约束 MPC 的稳定性需要两个条件：

1. 终端权重：$P=P_{\infty }$（DARE 解）
2. 预测时域：$N\ge N_{\min }$（足够大）

这种设计可行域最大、实现最简单，但稳定性证明最复杂。

相关内容

DARE 求解见02-离散代数 Riccati 方程 DARE 求解 终端等式约束局限见01-终端等式约束下的稳定性局限 终端代价配合见02-终端代价与终端集的配合机制

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本