可行性传递机制与数学归纳法

一、递归可行性的定义

1.1 可行性定义

定义（可行性）：MPC 优化问题在时刻 $k$ 是可行的，如果存在控制序列 $U_k=\{u_{0|k},\dots ,u_{N-1|k}\}$ 满足所有约束：

$$\begin{array}{rl}& x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f\end{array}$$

1.2 递归可行性定义

定义（递归可行性）：MPC 问题是递归可行的，如果：

$$x(0)\in {\mathcal{F}}_N⟹x(k)\in {\mathcal{F}}_N,\forall k\ge 0$$

其中 ${\mathcal{F}}_N$ 是可行域。

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二、主定理

2.1 递归可行性定理

定理：对于带终端不等式约束的 MPC，若以下条件满足：

1. 终端集不变性：${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集，即

   $$\forall x\in {\mathcal{X}}_f,\exists u=-Kx\in \mathcal{U}\text{ s.t. }(A-BK)x\in {\mathcal{X}}_f$$

2. 初始可行性：$x(0)\in {\mathcal{F}}_N$

3. 精确模型：$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$（无扰动）

则 MPC 问题是递归可行的。

2.2 证明方法：数学归纳法

数学归纳法的核心思路：

1. 基础步骤：证明 $k=0$ 时成立
2. 归纳步骤：证明若 $k$ 时成立，则 $k+1$ 时也成立
3. 结论：对所有 $k\ge 0$ 成立

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三、严格证明

3.1 基础步骤 ($k=0$)

已知：$x(0)\in {\mathcal{F}}_N$（初始可行性假设）

结论：存在可行解 $U_0^{\ast }$

这是直接由假设得出的。

3.2 归纳假设

假设：时刻 $k$ 可行，即 $x(k)\in {\mathcal{F}}_N$，存在最优解：

$$U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$$

对应的最优状态轨迹：

$$X_k^{\ast }=\{x_{0|k}^{\ast },x_{1|k}^{\ast },\dots ,x_{N|k}^{\ast }\}$$

其中 $x_{0|k}^{\ast }=x(k)$，$x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$。

3.3 归纳步骤：证明时刻 $k+1$ 可行

目标：证明 $x(k+1)\in {\mathcal{F}}_N$

证明：

步骤 1：实施控制并计算下一状态

实施最优控制序列的第一个元素：

$$u(k)=u_{0|k}^{\ast }$$

下一时刻的实际状态（精确模型假设）：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)=A{x}_{0|k}^{\ast }+B{u}_{0|k}^{\ast }=x_{1|k}^{\ast }$$

步骤 2：Shift 构造候选解

构造时刻 $k+1$ 的候选控制序列：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },u_{2|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },u_{N|k}^{\text{term}}\}$$

其中终端控制输入：

$$u_{N|k}^{\text{term}}=-K{x}_{N|k}^{\ast }$$

步骤 3：验证状态约束

对于 $i=0,\dots ,N-1$：

$${\tilde{x}}_{i|k+1}=x_{i+1|k}^{\ast }\in \mathcal{X}$$

（因为 $X_k^{\ast }$ 可行，所有状态都在 $\mathcal{X}$ 内）

对于终端状态 $i=N$：

$${\tilde{x}}_{N|k+1}=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }$$

由于 $x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$ 且 ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集：

$${\tilde{x}}_{N|k+1}\in {\mathcal{X}}_f\subseteq \mathcal{X}$$

步骤 4：验证输入约束

对于 $i=0,\dots ,N-2$：

$${\tilde{u}}_{i|k+1}=u_{i+1|k}^{\ast }\in \mathcal{U}$$

（因为 $U_k^{\ast }$ 可行，所有输入都在 $\mathcal{U}$ 内）

对于终端控制 $i=N-1$：

$${\tilde{u}}_{N-1|k+1}=-K{x}_{N|k}^{\ast }$$

由于 $x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$ 且终端控制律满足输入约束：

$$-K{x}_{N|k}^{\ast }\in \mathcal{U}$$

步骤 5：验证终端约束

$${\tilde{x}}_{N|k+1}=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$$

（因为 ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集）

结论：${\tilde{U}}_{k+1}$ 满足所有约束，是时刻 $k+1$ 的可行解。

因此 $x(k+1)\in {\mathcal{F}}_N$。

3.4 归纳结论

由数学归纳法：

• 基础步骤：$k=0$ 时成立
• 归纳步骤：若 $k$ 时成立，则 $k+1$ 时成立

因此，对所有 $k\ge 0$，$x(k)\in {\mathcal{F}}_N$。

证毕。

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四、可行性传递机制

4.1 传递图示

时刻 k:   x(k) ∈ F_N
          ↓
          存在最优解 U*_k
          ↓
          实施 u(k) = u*₀|ₖ
          ↓
时刻 k+1: x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
          ↓
          Shift 构造 Ũₖ₊₁
          ↓
          验证：Ũₖ₊₁ 满足所有约束
          ↓
          结论：x(k+1) ∈ F_N

4.2 关键要素

要素	作用
终端集不变性	保证 $\tilde{x}_{N
Shift 构造	提供时刻 $k+1$ 的可行解
精确模型	保证 $x(k+1) = x_{1
终端控制律	$u=-Kx$ 保证不变性

4.3 可行性传递链

x(0) ∈ F_N
  ↓ (传递)
x(1) ∈ F_N
  ↓ (传递)
x(2) ∈ F_N
  ↓ (传递)
...
  ↓ (传递)
x(k) ∈ F_N, ∀k ≥ 0

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五、不同终端设计的对比

5.1 终端等式约束 $x_N=0$

可行性传递：

• Shift 构造：${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },0\}$
• 终端状态：${\tilde{x}}_{N|k+1}=0\in \{0\}$
• 可行性：✅ 保证

5.2 终端不等式约束 $x_N\in {\mathcal{X}}_f$

可行性传递：

• Shift 构造：${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,-K{x}_{N|k}^{\ast }\}$
• 终端状态：${\tilde{x}}_{N|k+1}=(A-BK)x_{N|k}^{\ast }\in {\mathcal{X}}_f$
• 可行性：✅ 保证（需 ${\mathcal{X}}_f$ 是不变集）

5.3 无终端约束

可行性传递：

• 无终端约束保证
• 可行性：⚠️ 需 $N$ 足够大

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六、示例：可行性传递

6.1 系统参数

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k),|u|\le 1,|x|\le 5$$

终端集 ${\mathcal{X}}_f=\{x\mid |x|\le 2\}$，$N=5$。

6.2 时刻 $k=0$

初始状态 $x(0)=3\in {\mathcal{F}}_5$（验证可行）。

最优解 $U_0^{\ast }=\{-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1\}$。

6.3 时刻 $k=1$

实施 $u(0)=-0.5$：

$$x(1)=0.8\times 3+0.2\times (-0.5)=2.3$$

Shift 构造：

$${\tilde{U}}_1=\{-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,-K\times x_{5|0}^{\ast }\}$$

验证：${\tilde{U}}_1$ 可行，$x(1)=2.3\in {\mathcal{F}}_5$。

6.4 观察

• 可行性从 $k=0$ 传递到 $k=1$
• Shift 构造提供了 $k=1$ 的可行解
• 递归可行性得证

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七、总结

概念	说明
递归可行性	若初始可行，则永远可行
证明方法	数学归纳法
关键工具	Shift 构造
核心条件	终端集不变性
传递机制	可行性从 $k$ 传递到 $k+1$

相关内容

Shift 操作见 02-基于 Shift 操作的可行解构造 终端集设计见 02-终端不等式约束与终端集 Xf 初始可行域见 02-初始可行域与最大吸引域

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本