终端代价与终端集的配合机制

一、终端设计的双自由度

1.1 终端设计要素

终端不等式约束 MPC 包含两个设计自由度：

要素	符号	作用
终端代价	$P$	惩罚终端状态，影响最优性
终端集	${\mathcal{X}}_f$	约束终端状态范围，保证可行性

优化问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{U_k}{\min }& \sum _{i=0}^{N-1}(x_{i|k}^{\top }Q{x}_{i|k}+u_{i|k}^{\top }R{u}_{i|k})+\boxed{x_{N|k}^{\top }P{x}_{N|k}}\\ \text{s.t.}& x_{N|k}\in \boxed{{\mathcal{X}}_f}\end{array}$$

1.2 配合设计的必要性

核心思想：终端代价$P$ 和终端集${\mathcal{X}}_f$ 必须协调设计，单独优化任一者都无法保证稳定性。

稳定性保证 = 终端代价 P + 终端集 X_f + 局部控制律 K
            ↑              ↑              ↑
            └────── 必须协调配合 ──────┘

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二、终端代价$P$ 的选择

2.1 无限时域 LQR 代价

理想选择：$P=P_{\infty }$，其中$P_{\infty }$ 是 DARE 的解：

$$P_{\infty }=A^{\top }{P}_{\infty }A-A^{\top }{P}_{\infty }B(R+B^{\top }{P}_{\infty }B{)}^{-1}{B}^{\top }{P}_{\infty }A+Q$$

物理意义：

• $x^{\top }{P}_{\infty }x$ 表示从状态$x$ 出发的无限时域最优代价
• 用$P_{\infty }$ 作为终端权重，相当于近似无限时域代价

2.2 DARE 解的性质

命题：若$(A,Q^{1/2})$可检测，$(A,B)$ 能控，则$P_{\infty }\succ 0$ 且唯一。

对应的 LQR 增益：

$$K_{\infty }=(R+B^{\top }{P}_{\infty }B{)}^{-1}{B}^{\top }{P}_{\infty }A$$

闭环系统矩阵：

$$A_{\text{cl}}=A-B{K}_{\infty }$$

谱半径$\rho (A_{\text{cl}})<1$，系统稳定。

2.3$P$ 的选择对稳定性的影响

$P$ 的选择	稳定性	说明
$P=0$	❌ 不稳定	无终端惩罚，状态可能发散
$P\succ 0$ 任意	⚠️ 不一定	需配合合适的${\mathcal{X}}_f$
$P=P_{\infty }$	✅ 稳定	需配合${\mathcal{X}}_f$为控制不变集

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三、终端集${\mathcal{X}}_f$ 的选择

3.1 控制不变集

定义（控制不变集）：集合$\mathcal{C}$称为控制不变集，如果：

$$\forall x\in \mathcal{C},\exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in \mathcal{C}$$

物理意义：一旦状态进入$\mathcal{C}$，存在控制律使其永远留在$\mathcal{C}$内。

3.2 最大控制不变集

定义（最大控制不变集）${\mathcal{O}}_{\infty }$：

$${\mathcal{O}}_{\infty }=\{x\mid \exists \{u_k\}\text{ s.t. }{x}_k\in \mathcal{X},u_k\in \mathcal{U},\forall k\ge 0\}$$

性质：

• ${\mathcal{O}}_{\infty }$ 是最大的控制不变集
• 任何控制不变集$\mathcal{C}\subseteq {\mathcal{O}}_{\infty }$
• 可通过迭代算法计算

3.3${\mathcal{X}}_f$ 的计算方法

方法 1：最大控制不变集

$${\mathcal{X}}_f={\mathcal{O}}_{\infty }$$

• 可行域最大
• 计算复杂度高

方法 2：LQR 不变集

$${\mathcal{X}}_f=\{x\mid x^{\top }{P}_{\infty }x\le r,u=-K_{\infty }x\in \mathcal{U}\}$$

• 计算简单
• 可行域较小

方法 3：多面体逼近

$${\mathcal{X}}_f=\{x\mid Fx\le f\}$$

• 便于优化求解
• 可能是保守近似

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四、$P$与${\mathcal{X}}_f$ 的配合机制

4.1 配合条件

定理（稳定性充分条件）：若终端设计满足：

1. 终端代价：$P=P_{\infty }$（DARE 解）
2. 终端集：${\mathcal{X}}_f\subseteq {\mathcal{O}}_{\infty }$ 是控制不变集
3. 局部控制律：$u=-K_{\infty }x$ 在${\mathcal{X}}_f$ 内可行

则 MPC 闭环系统渐近稳定。

4.2 配合机制的数学本质

Lyapunov 下降性证明（见02-Lyapunov 函数下降性推导）：

Shift 构造的候选解：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },-K_{\infty }{x}_{N|k}^{\ast }\}$$

终端代价变化：

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{x}}_{N|k+1}^{\top }P{\tilde{x}}_{N|k+1}-x_{N|k}^{\ast \top }P{x}_{N|k}^{\ast }\\ =& x_{N|k}^{\ast \top }((A-B{K}_{\infty }{)}^{\top }P(A-B{K}_{\infty })-P)x_{N|k}^{\ast }\\ =& -x_{N|k}^{\ast \top }(Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }\text{（利用 DARE）}\end{array}$$

完整代价差：

$$J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))=-x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)-x_{N|k}^{\ast \top }(Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty })x_{N|k}^{\ast }$$

因此：

$$\Delta J^{\ast }\le -x(k{)}^{\top }Qx(k)-u(k{)}^{\top }Ru(k)<0$$

4.3 配合失效的情况

失效模式	原因	后果
$P=P_{\infty }$ 但${\mathcal{X}}_f$ 不是不变集	Shift 后状态可能离开${\mathcal{X}}_f$	递归可行性丧失
${\mathcal{X}}_f$ 是不变集但$P\ne P_{\infty }$	终端代价变化无法抵消	Lyapunov 下降性不成立
$P=0$ 或$P\prec 0$	终端代价无惩罚或负惩罚	状态可能发散

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五、设计流程

5.1 标准设计流程

graph TD
    A[给定系统 A, B] --> B[选择权重 Q, R]
    B --> C[求解 DARE 得 P_∞, K_∞]
    C --> D{选择终端集类型}
    D -->|最大可行域 | E[计算 O_∞]
    D -->|计算简单 | F[LQR 椭球集]
    E --> G[设 X_f = O_∞]
    F --> H[设 X_f = {x \| x^T P_∞ x ≤ r}]
    G --> I[验证 u = -K_∞ x ∈ U]
    H --> I
    I --> J[完成设计]

5.2 数值示例

系统参数：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1.5& 0.5\\ 0& 1.2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

权重选择：

$$Q=I,R=1$$

步骤 1：求解 DARE

$$P_{\infty }=\left[\begin{array}{cc}12.5& 2.1\\ 2.1& 8.3\end{array}\right],K_{\infty }=\left[\begin{array}{cc}0.42& 1.15\end{array}\right]$$

步骤 2：计算终端集

$${\mathcal{X}}_f=\{x\mid x^{\top }{P}_{\infty }x\le 10,|K_{\infty }x|\le 1\}$$

步骤 3：验证不变性

$$\forall x\in {\mathcal{X}}_f:(A-B{K}_{\infty })x\in {\mathcal{X}}_f,|-K_{\infty }x|\le 1$$

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六、不同配合方案对比

方案	$P$	${\mathcal{X}}_f$	稳定性	可行域	计算复杂度
标准设计	$P_{\infty }$	控制不变集	✅	中等	中等
最大可行域	$P_{\infty }$	${\mathcal{O}}_{\infty }$	✅	最大	高
简化设计	$P_{\infty }$	LQR 椭球	✅	较小	低
无终端集	$P_{\infty }$	$\varnothing$	⚠️ 需$N$ 足够大	最大	低
错误设计	任意	非不变集	❌	-	-

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七、总结

设计要素	推荐选择	作用
终端代价$P$	$P_{\infty }$（DARE 解）	近似无限时域代价
终端集${\mathcal{X}}_f$	控制不变集	保证递归可行性
局部控制律	$u=-K_{\infty }x$	终端后的隐含控制

核心结论

终端代价$P$ 和终端集${\mathcal{X}}_f$ 必须协调设计：

• $P=P_{\infty }$ 保证 Lyapunov 下降性
• ${\mathcal{X}}_f$ 为控制不变集保证递归可行性
• 两者缺一不可

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日期	内容
2026-04-10	初始版本