扰动下的可行性鲁棒性分析

一、扰动模型

1.1 系统模型

考虑有界扰动的离散时间系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)$$

其中：

• $w(k)\in {\mathbb{R}}^n$ 是未知扰动
• $w(k)\in \mathcal{W}$，$\mathcal{W}$ 是有界闭凸集（通常包含原点）

1.2 扰动集合

常见扰动集合表示：

箱型扰动：

$$\mathcal{W}=\{w\mid \Vert w{\Vert }_{\infty }\le w_{\max }\}$$

椭球扰动：

$$\mathcal{W}=\{w\mid w^{\top }Pw\le 1\}$$

多面体扰动：

$$\mathcal{W}=\{w\mid F_{w}w\le f_w\}$$

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二、扰动对可行性的影响

2.1 标称可行性 vs 鲁棒可行性

概念	定义	说明
标称可行性	无扰动 ($w=0$) 时的可行性	标准 MPC 可行性
鲁棒可行性	$\forall w(k)\in \mathcal{W}$，可行性仍保持	需要额外设计

2.2 问题描述

问题：即使 $x(k)\in {\mathcal{F}}_N$（标称可行），扰动可能导致：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)\notin {\mathcal{F}}_N$$

原因：

• 扰动将状态推出预测轨迹
• Shift 构造的候选解不再可行
• 递归可行性被破坏

2.3 示例：扰动导致不可行

标称轨迹：x₀ → x₁ → x₂ → ... → xN ∈ Xf
          ↓
扰动 w：        +w
          ↓
实际轨迹：x₀ → x'₁ → x'₂ → ... → x'N ∉ Xf

结果：下一时刻问题不可行

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三、鲁棒递归可行性

3.1 定义

定义（鲁棒递归可行性）：MPC 问题是鲁棒递归可行的，如果：

$$x(0)\in {\mathcal{F}}_N^R⟹x(k)\in {\mathcal{F}}_N^R,\forall k\ge 0,\forall w(k)\in \mathcal{W}$$

其中 ${\mathcal{F}}_N^R$ 是鲁棒可行域。

3.2 鲁棒可行域

定义（鲁棒可行域）：

$${\mathcal{F}}_N^R=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k\text{ s.t. }\forall w\in \mathcal{W},\text{约束满足}\}$$

显然：

$${\mathcal{F}}_N^R\subseteq {\mathcal{F}}_N$$

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四、约束紧缩 (Constraint Tightening)

4.1 基本思想

约束紧缩：通过向内收缩约束集，为扰动预留”安全裕度”，确保实际轨迹满足原约束。

原约束 X    ┌─────────────┐
紧缩约束 Xt  │  ┌───────┐  │
            │  │       │  │  ← 安全裕度
            │  └───────┘  │
└─────────────┘

4.2 紧缩状态约束

定义紧缩状态约束集：

$${\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{Z}$$

其中：

• $\ominus$ 是 Minkowski 差
• $\mathcal{Z}$ 是扰动传播的上界集

展开为：

$${\mathcal{X}}_t=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x+z\in \mathcal{X},\forall z\in \mathcal{Z}\}$$

4.3 紧缩输入约束

定义紧缩输入约束集：

$${\mathcal{U}}_t=\mathcal{U}\ominus K\mathcal{Z}$$

其中 $K$ 是局部反馈增益。

4.4 扰动传播上界集 $\mathcal{Z}$

扰动传播的动态：

$$z(k+1)=Az(k)+w(k),z(0)=0$$

扰动传播上界集满足：

$$z(k)\in \mathcal{Z},\forall k\ge 0,\forall w(k)\in \mathcal{W}$$

$\mathcal{Z}$ 的计算：

$$\mathcal{Z}=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨁}}{A}^i\mathcal{W}$$

若 $A$ 稳定（$\rho (A)<1$），该级数收敛。

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五、鲁棒 MPC 算法

5.1 紧缩约束 MPC

算法：鲁棒 MPC（约束紧缩方法）

1. 离线计算：

   • 计算扰动上界集 $\mathcal{Z}$
   • 计算紧缩约束 ${\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{Z}$，${\mathcal{U}}_t=\mathcal{U}\ominus K\mathcal{Z}$
   • 计算鲁棒终端集 ${\mathcal{X}}_f^R$

2. 在线优化（每个时刻 $k$）：

   $$\underset{U_k}{\min }{J}_N(x(k),U_k)$$

   约束：

   $$\begin{array}{rl}& x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k}\text{（标称模型）}\\ & x_{i|k}\in {\mathcal{X}}_t,i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in {\mathcal{U}}_t,i=0,\dots ,N-1\\ & x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f^R\end{array}$$

3. 实施控制：$u(k)=u_{0|k}^{\ast }$

5.2 鲁棒稳定性定理

定理：对于紧缩约束 MPC，若：

1. 紧缩约束 ${\mathcal{X}}_t,{\mathcal{U}}_t$ 非空
2. 鲁棒终端集 ${\mathcal{X}}_f^R$ 是鲁棒不变集
3. 初始状态 $x(0)\in {\mathcal{F}}_N^R$

则：

• 闭环系统是鲁棒递归可行的
• 状态收敛到有界集 $\mathcal{Z}$

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六、鲁棒不变集

6.1 定义

定义（鲁棒控制不变集）：集合 $\mathcal{C}$ 称为鲁棒控制不变集，如果：

$$\forall x\in \mathcal{C},\exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu+w\in \mathcal{C},\forall w\in \mathcal{W}$$

6.2 鲁棒终端集

鲁棒终端集${\mathcal{X}}_f^R$ 是鲁棒控制不变集，满足：

$$\forall x\in {\mathcal{X}}_f^R,\exists u=-Kx\in {\mathcal{U}}_t\text{ s.t. }(A-BK)x+w\in {\mathcal{X}}_f^R,\forall w\in \mathcal{W}$$

6.3 计算方法

鲁棒不变集可通过迭代计算：

$${\mathcal{C}}_{k+1}=\{x\in {\mathcal{C}}_k\mid \exists u\in {\mathcal{U}}_t\text{ s.t. }Ax+Bu+\mathcal{W}\subseteq {\mathcal{C}}_k\}$$

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七、Tube MPC 简介

7.1 Tube 概念

Tube MPC 是另一种处理扰动的方法：

• 标称轨迹：$z(k+1)=Az(k)+Bv(k)$
• 实际轨迹：$x(k)=z(k)+e(k)$
• 误差动态：$e(k+1)=(A+BK)e(k)+w(k)$

7.2 Tube 约束

实际状态约束：

$$x(k)\in \mathcal{X}⟺z(k)\in \mathcal{X}\ominus \mathcal{E}$$

其中 $\mathcal{E}$ 是误差的不变集。

详细内容

见 鲁棒 MPC-Tube MPC 理论

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八、示例：约束紧缩

8.1 系统参数

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k)+w(k),|w|\le 0.1$$ $$\mathcal{X}=\{x\mid |x|\le 5\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

8.2 扰动传播上界

$$\mathcal{Z}=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨁}}0.8^i\cdot 0.1=\frac{0.1}{1-0.8}=0.5$$

8.3 紧缩约束

$${\mathcal{X}}_t=\{x\mid |x|\le 5-0.5\}=\{x\mid |x|\le 4.5\}$$ $${\mathcal{U}}_t=\{u\mid |u|\le 1-K\cdot 0.5\}$$

取 $K=0.5$，则 ${\mathcal{U}}_t=\{u\mid |u|\le 0.75\}$。

8.4 结果

• 标称可行域：$|x|\le 5$
• 鲁棒可行域：$|x|\le 4.5$（缩小了 10%）
• 保证：对任意 $|w|\le 0.1$，递归可行性保持

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九、总结

概念	说明
扰动着陆	$x(k+1)=Ax+Bu+w$
鲁棒可行性	$\forall w\in \mathcal{W}$，可行性保持
约束紧缩	${\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{Z}$
扰动上界集	$\mathcal{Z}={⨁}_{i=0}^{\infty }{A}^i\mathcal{W}$
鲁棒不变集	扰动下仍保持不变的集合

相关内容

标称可行性见 01-可行性传递机制与数学归纳法 Tube MPC 见 鲁棒 MPC-Tube MPC 理论 可行域见 02-初始可行域与最大吸引域

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本