初始可行域与最大吸引域

一、可行域的定义与性质

1.1 可行域定义

定义（可行域）：MPC 问题的可行域${\mathcal{F}}_N$ 是所有存在可行控制序列的初始状态集合：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k\text{ s.t. 所有约束满足}\}$$

展开为：

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_N=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists U_k=\{u_{0|k},\dots ,u_{N-1|k}\}\text{ s.t. }& \\ & x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=0,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f\}\end{array}$$

1.2 可行域的性质

性质	说明
闭凸性	若 $\mathcal{X},\mathcal{U},{\mathcal{X}}_f$ 是凸集，则 ${\mathcal{F}}_N$ 也是凸集
包含原点	$0\in {\mathcal{F}}_N$（假设原点可行）
嵌套性	${\mathcal{F}}_1\subseteq {\mathcal{F}}_2\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal{F}}_{\infty }$
有界性	若 $\mathcal{X}$ 有界，则 ${\mathcal{F}}_N$ 有界

---

二、初始可行域

2.1 定义

定义（初始可行域）：初始可行域是使 MPC 问题在初始时刻有解的状态集合：

$${\mathcal{F}}_N^{\text{init}}=\{x(0)\in \mathcal{X}\mid \text{MPC 问题在 }k=0\text{ 时有解}\}$$

在标准假设下，${\mathcal{F}}_N^{\text{init}}={\mathcal{F}}_N$。

2.2 计算初始可行域

初始可行域可通过以下方法计算：

方法 1：投影法

$${\mathcal{F}}_N={\text{Proj}}_x\{(x,U)\mid \text{所有约束满足}\}$$

方法 2：迭代法

从终端集开始反向迭代：

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_0& ={\mathcal{X}}_f\\ {\mathcal{F}}_{k+1}& =\{x\in \mathcal{X}\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in {\mathcal{F}}_k\}\end{array}$$

则 ${\mathcal{F}}_N$ 是第 $N$ 次迭代的结果。

2.3 影响可行域大小的因素

因素	影响
预测时域 $N$	$N\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$
终端集 ${\mathcal{X}}_f$	${\mathcal{X}}_f\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$
状态约束 $\mathcal{X}$	$\mathcal{X}\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$
输入约束 $\mathcal{U}$	$\mathcal{U}\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$
系统能控性	能控性越好，${\mathcal{F}}_N$ 越大

---

三、最大吸引域 (Region of Attraction)

3.1 定义

定义（最大吸引域）：最大吸引域$\mathcal{R}$ 是所有能渐近收敛到原点的初始状态集合：

$$\mathcal{R}=\{x_0\in {\mathbb{R}}^n\mid \text{存在控制律使 }x(k)\to 0\text{ 且约束满足}\}$$

3.2 与可行域的关系

集合	定义	关系
可行域 ${\mathcal{F}}_N$	MPC 问题有解的状态集	${\mathcal{F}}_N\subseteq \mathcal{R}$
最大吸引域 $\mathcal{R}$	能收敛到原点的状态集	$\mathcal{R}={\mathcal{F}}_{\infty }$

在递归可行性保证下：

$${\mathcal{F}}_N\subseteq \mathcal{R}$$

3.3 最大吸引域的计算

方法：计算极限可行域 ${\mathcal{F}}_{\infty }$

$${\mathcal{F}}_{\infty }=\bigcup _{N=1}^{\infty }{\mathcal{F}}_N$$

对于稳定系统，${\mathcal{F}}_{\infty }$ 通常等于最大控制不变集 ${\mathcal{O}}_{\infty }$。

---

四、可行域与终端设计的关系

4.1 不同终端设计的可行域对比

终端设计	可行域 ${\mathcal{F}}_N$	说明
终端等式约束 $x_N=0$	${\mathcal{F}}_N^0$（最小）	$N$ 步能控集
终端不等式约束 $x_N\in {\mathcal{X}}_f$	${\mathcal{F}}_N$（中等）	${\mathcal{X}}_f$ 大小决定
无终端约束 + $P=P_{\infty }$	${\mathcal{F}}_N^{\text{none}}$（最大）	但需 $N$ 足够大保证稳定

4.2 终端集大小的影响

$${\mathcal{X}}_f\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$$

极限情况：

• ${\mathcal{X}}_f=\{0\}$（终端等式约束）：${\mathcal{F}}_N$ 最小
• ${\mathcal{X}}_f={\mathcal{O}}_{\infty }$（最大不变集）：${\mathcal{F}}_N$ 最大（对给定 $N$）

4.3 预测时域的影响

$$N\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$$

极限情况：

$$\underset{N\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_N={\mathcal{F}}_{\infty }={\mathcal{O}}_{\infty }$$

---

五、可行域的数值表示

5.1 多面体表示

若约束是多面体，可行域也可表示为多面体：

$${\mathcal{F}}_N=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid F_{N}x\le f_N\}$$

5.2 显式 MPC 中的划分

在显式 MPC 中，可行域被划分为多个临界区域：

$${\mathcal{F}}_N=\bigcup _{i=1}^M{\mathcal{R}}_i$$

每个区域 ${\mathcal{R}}_i$ 对应一个线性控制律。

5.3 计算工具

工具	功能
MPT3 (MATLAB)	可行域计算、显式 MPC
YALMIP	优化建模、投影计算
PPL	多面体运算

---

六、示例：可行域计算

6.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$ $$\mathcal{X}=\{x\mid |x_1|\le 1,|x_2|\le 10\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

6.2 不同终端设计的可行域

终端设计	$N=5$ 可行域	$N=10$ 可行域
$x_N=0$	$	x_1
$x_N\in {\mathcal{X}}_f$, $\mathcal{X}_f = {	x_1	\leq 0.5}$
无终端约束	$	x_1

6.3 观察

• 终端等式约束的可行域最小
• 增大 $N$ 可扩展可行域
• 终端集越大，可行域越大

---

七、总结

概念	定义	说明
可行域	${\mathcal{F}}_N=\{x\mid \text{MPC 问题有解}\}$	依赖于 $N$ 和终端设计
初始可行域	${\mathcal{F}}_N^{\text{init}}$	MPC 可工作的初始状态范围
最大吸引域	$\mathcal{R}={\mathcal{F}}_{\infty }$	所有能收敛到原点的状态
终端设计影响	${\mathcal{X}}_f\uparrow ⟹{\mathcal{F}}_N\uparrow$	终端集越大，可行域越大

相关内容

递归可行性证明见 01-可行性传递机制与数学归纳法 终端集设计见 02-终端不等式约束与终端集 Xf 最大控制不变集见 03-最大控制不变集 MAS 计算

---

更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本