车身姿态角与平面运动状态变量的对应关系

一、姿态角的定义与分类

1.1 三维姿态角体系

完整车辆姿态用三个欧拉角描述：

角度	符号	旋转轴	物理意义
横摆角（Yaw）	$\psi$	$z$ 轴	车辆航向
俯仰角（Pitch）	$\theta$	$y$ 轴	前后倾斜
侧倾角（Roll）	$\varphi$	$x$ 轴	左右倾斜

1.2 平面动力学的降维

在平面假设下：

• 俯仰角 $\theta \approx 0$（忽略路面坡度变化）
• 侧倾角 $\varphi \approx 0$（忽略悬架侧倾）
• 仅保留横摆角 $\psi$ 作为姿态变量

二、横摆角与运动学状态

2.1 横摆角的运动学定义

横摆角 $\psi$ 描述车身坐标系相对于大地坐标系的方向：

$$\psi =\arctan {\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\text{body}}$$

其中 $(dx,dy)$ 为车身纵轴在大地坐标系中的投影。

2.2 横摆角速度

横摆角速度定义为横摆角对时间的一阶导数：

$$r=\dot{\psi }=\frac{d\psi }{dt}$$

物理意义：单位时间内车身航向的变化率。

2.3 横摆角速度的测量

横摆角速度可通过 IMU（惯性测量单元）直接测量，是车辆稳定性控制（ESP/ESC）的核心反馈信号。

三、质心侧偏角

3.1 质心侧偏角的定义

质心侧偏角（Vehicle Slip Angle） $\beta$ 描述车辆质心速度方向与车身纵轴的夹角：

$$\beta =\arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$

其中 $v_x$ 和 $v_y$ 为质心速度在车身坐标系中的分量。

graph TD
    A[车身纵轴] --> B[速度矢量 v]
    B --> C[β: 质心侧偏角]
    D[v_x 纵向分量] --> B
    E[v_y 侧向分量] --> B

3.2 质心侧偏角的物理意义

$\beta$ 值	运动特征
$\beta =0$	速度方向与车身纵轴一致（纯纵向运动）
$\beta >0$	速度方向指向车身左侧（左侧滑）
$\beta <0$	速度方向指向车身右侧（右侧滑）

侧偏角的正负约定

按照 SAE J670 标准：

• 侧向速度 $v_y$ 向左为正
• 因此 $\beta >0$ 表示车辆向左前方运动

3.3 小角度近似

在正常驾驶工况下，$\beta$ 通常很小（$\beta <10^{\circ }$），可采用近似：

$$\beta \approx \frac{v_y}{v_x}\approx \frac{v_y}{v}$$

其中 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ 为车速。

四、大地坐标系与车身坐标系的状态映射

4.1 速度变换关系

大地坐标系速度 $(\dot{X},\dot{Y})$ 与车身坐标系速度 $(v_x,v_y)$ 的关系：

$$\left[\begin{array}{c}\dot{X}\\ \dot{Y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \psi & -\sin \psi \\ \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]$$

4.2 用侧偏角表示的速度变换

引入质心侧偏角 $\beta$ 后，速度可表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]=v\left[\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \end{array}\right]$$

代入变换矩阵得：

$$\begin{array}{rl}\dot{X}& =v\cos (\psi +\beta )\\ \dot{Y}& =v\sin (\psi +\beta )\end{array}$$

航向与速度方向的区别

• $\psi$：车身纵轴方向（航向）
• $\psi +\beta$：实际速度方向（轨迹切线方向）
• 两者之差即为侧偏角 $\beta$

4.3 状态变量的等价描述

车辆平面运动状态可用两种等价方式描述：

描述 1：大地坐标系 + 车身速度

$${\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ \psi \\ v_x\\ v_y\end{array}\right]$$

描述 2：大地坐标系 + 侧偏角 + 车速

$${\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ \psi \\ v\\ \beta \end{array}\right]$$

两种描述可通过代数变换相互转换。

五、状态变量的动力学意义

5.1 独立状态变量

对于平面动力学建模，最小状态变量集为：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ r\end{array}\right]\text{或}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}v\\ \beta \\ r\end{array}\right]$$

其中 $X,Y,\psi$ 可通过运动学积分获得，不参与动力学耦合。

5.2 状态变量的物理可测性

变量	可直接测量	典型传感器
$v_x$	近似可测	轮速传感器
$v_y$	难以直接测量	需状态估计
$r$	可直接测量	陀螺仪
$\beta$	难以直接测量	需状态估计

侧偏角估计

质心侧偏角 $\beta$ 是车辆稳定性控制的关键状态，通常通过卡尔曼滤波或非线性观测器估计。

六、相关内容

• 01-车身坐标系的质心对齐与轴系约定
• 02-大地坐标系中的平面运动学描述框架
• 01-二自由度平面动力学建模理论