车身坐标系的质心对齐与轴系约定

一、车身坐标系的物理意义

车身固连坐标系（Body-fixed Coordinate System）是随车辆一起运动的非惯性参考系。其核心价值在于：

• 将车辆自身运动（平动、转动）与外部参考系解耦
• 便于描述轮胎力、加速度等固连于车身的物理量
• 简化动力学方程的推导和表达

二、原点选取：质心对齐原则

2.1 质心对齐的理论依据

车身坐标系原点 $O_b$ 严格选取在车辆质心（Center of Gravity, CG），原因如下：

理由	说明
动力学解耦	质心系中平动与转动方程形式最简
惯性积消除	对称车辆质心系中惯性积为零
牛顿 - 欧拉方程	直接在质心列写力/力矩平衡方程

2.2 质心位置的工程定义

对于平面动力学分析，质心位置定义为：

$$\begin{array}{rl}{x}_{\text{CG}}& =\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}\\ y_{\text{CG}}& =\frac{\sum m_i{y}_i}{\sum m_i}\end{array}$$

其中 $(x_i,y_i)$ 为各质量微元在车身坐标系中的坐标。

质心高度的处理

在平面动力学假设下，质心高度 $h_{\text{CG}}$ 的影响通过载荷转移间接体现，坐标系本身为二维。

三、轴系方向约定

3.1 SAE J670 标准

采用 SAE J670 车辆坐标系标准：

轴	方向	正方向约定
$x$ 轴	车辆纵向	指向车辆前进方向
$y$ 轴	车辆横向	指向驾驶员左侧
$z$ 轴	车辆垂向	垂直向上（右手定则）

3.2 平面动力学的简化

在平面假设下，仅保留水平面内的两个轴：

$$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{\vec{b}}_x\\ {\vec{b}}_y\end{array}\right]$$

其中 ${\vec{b}}_x$ 和 ${\vec{b}}_y$ 为正交单位向量，满足：

$${\vec{b}}_x\cdot {\vec{b}}_y=0,\Vert {\vec{b}}_x\Vert =\Vert {\vec{b}}_y\Vert =1$$

3.3 基向量与大地坐标系的关系

车身坐标系基向量可用大地坐标系表示：

$$\begin{array}{rl}{\vec{b}}_x& =\cos \psi \cdot {\vec{e}}_X+\sin \psi \cdot {\vec{e}}_Y\\ {\vec{b}}_y& =-\sin \psi \cdot {\vec{e}}_X+\cos \psi \cdot {\vec{e}}_Y\end{array}$$

写成矩阵形式即平面旋转矩阵：

$$\left[\begin{array}{c}{\vec{b}}_x\\ {\vec{b}}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\vec{e}}_X\\ {\vec{e}}_Y\end{array}\right]$$

四、车身坐标系的运动学特性

4.1 随动性

车身坐标系固连于车辆，其运动包括：

• 平动：原点随质心平动
• 转动：坐标轴随车身绕 $z$ 轴旋转

4.2 角速度矢量

平面运动中，车身坐标系的角速度为：

$${\mathbf{\omega }}_b=r\cdot {\vec{b}}_z=\dot{\psi }\cdot {\vec{b}}_z$$

其中 $r=\dot{\psi }$ 为横摆角速度。

4.3 非惯性效应

车身坐标系为非惯性系，在其中应用牛顿定律需引入惯性力：

惯性力	表达式	物理意义
平移惯性力	$-m{\mathbf{a}}_O$	原点加速引起
科里奥利力	$-2m{\mathbf{\omega }}_b\times {\mathbf{v}}_r$	旋转引起
离心力	$-m{\mathbf{\omega }}_b\times ({\mathbf{\omega }}_b\times \mathbf{r})$	旋转引起
欧拉力	$-m{\dot{\mathbf{\omega }}}_b\times \mathbf{r}$	角加速度引起

动力学方程推导

在车身系中推导动力学方程时，上述惯性力已隐含在牛顿 - 欧拉方程的形式中，无需显式添加。

五、状态变量在车身系中的表达

5.1 速度分量

车辆质心速度在车身坐标系中分解为：

$${\mathbf{v}}_{\text{CG}}=v_x{\vec{b}}_x+v_y{\vec{b}}_y$$

其中：

• $v_x$：纵向速度（前进方向）
• $v_y$：侧向速度（横向）

5.2 加速度分量

质心加速度在车身坐标系中分解为：

$${\mathbf{a}}_{\text{CG}}=a_x{\vec{b}}_x+a_y{\vec{b}}_y$$

其中加速度分量与速度分量的关系为（考虑旋转坐标系的导数）：

$$\begin{array}{rl}{a}_x& ={\dot{v}}_x-r{v}_y\\ a_y& ={\dot{v}}_y+r{v}_x\end{array}$$

科里奥利项

上述加速度表达式中的交叉项 $\pm r{v}_{y,x}$ 源于车身坐标系的旋转，是科里奥利加速度的体现。

六、车辆几何参数的坐标系定义

6.1 轴距与轮距

参数	定义	坐标系表达
轴距 $L$	前后轴距离	$L=L_f+L_r$
前轴距质心 $L_f$	质心到前轴距离	$x$ 轴正向
后轴距质心 $L_r$	质心到后轴距离	$x$ 轴负向
轮距 $t_w$	左右轮距离	$y$ 轴方向

6.2 轮胎位置

前后轴中心在车身坐标系中的位置：

$${\mathbf{r}}_{\text{front}}=\left[\begin{array}{c}{L}_f\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{r}}_{\text{rear}}=\left[\begin{array}{c}-L_r\\ 0\end{array}\right]$$

七、相关内容

• 02-车身姿态角与平面运动状态变量的对应关系
• 01-大地坐标系的定义与惯性基准建立
• 01-平面旋转矩阵与方向余弦的数学构建