平面旋转矩阵与方向余弦的数学构建

一、平面旋转的几何描述

1.1 问题引入

车辆平面动力学涉及多个坐标系：

• 大地坐标系 $\{\mathbf{e}\}$
• 车身坐标系 $\{\mathbf{b}\}$
• 轮胎坐标系 $\{\mathbf{w}\}$

坐标系之间的相对姿态由旋转矩阵描述。

1.2 二维平面旋转

考虑两个二维坐标系 $\{\mathbf{a}\}$ 和 $\{\mathbf{b}\}$，原点重合，$\{\mathbf{b}\}$ 相对 $\{\mathbf{a}\}$ 逆时针旋转角度 $\theta$：

      y_b
      ^
     /|
    / |
   /  |
  /   |
 a----+----> x_b
/θ    |
/     |
------+/------> x_a
      |
      v y_a

二、旋转矩阵的推导

2.1 基向量变换

设 $\{\mathbf{a}\}$ 系的基向量为 ${\vec{a}}_x,{\vec{a}}_y$，$\{\mathbf{b}\}$ 系的基向量为 ${\vec{b}}_x,{\vec{b}}_y$。

$\{\mathbf{b}\}$ 系基向量在 $\{\mathbf{a}\}$ 系中的表达：

$$\begin{array}{rl}{\vec{b}}_x& =\cos \theta \cdot {\vec{a}}_x+\sin \theta \cdot {\vec{a}}_y\\ {\vec{b}}_y& =-\sin \theta \cdot {\vec{a}}_x+\cos \theta \cdot {\vec{a}}_y\end{array}$$

2.2 旋转矩阵的定义

将上述关系写成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}{\vec{b}}_x\\ {\vec{b}}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\vec{a}}_x\\ {\vec{a}}_y\end{array}\right]$$

定义旋转矩阵（Rotation Matrix）：

$$\mathbf{R}(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

转置关系

上述两个矩阵互为转置，分别描述：

• $\mathbf{R}(\theta )$：矢量在 $\{\mathbf{b}\}$ 系到 $\{\mathbf{a}\}$ 系的坐标变换
• ${\mathbf{R}}^{\top }(\theta )$：基向量从 $\{\mathbf{a}\}$ 系到 $\{\mathbf{b}\}$ 系的变换

2.3 矢量坐标变换

设矢量 $\mathbf{v}$ 在 $\{\mathbf{a}\}$ 系和 $\{\mathbf{b}\}$ 系中的坐标分别为：

$${\mathbf{v}}_a=\left[\begin{array}{c}{v}_{ax}\\ v_{ay}\end{array}\right],{\mathbf{v}}_b=\left[\begin{array}{c}{v}_{bx}\\ v_{by}\end{array}\right]$$

变换关系为：

$${\mathbf{v}}_a=\mathbf{R}(\theta ){\mathbf{v}}_b$$

即：

$$\left[\begin{array}{c}{v}_{ax}\\ v_{ay}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_{bx}\\ v_{by}\end{array}\right]$$

三、方向余弦的数学构建

3.1 方向余弦的定义

方向余弦（Direction Cosine）是两坐标系基向量之间的夹角余弦值。

对于二维平面旋转，方向余弦矩阵为：

$${\mathbf{C}}_{ba}=\left[\begin{array}{cc}\cos ({\vec{b}}_x,{\vec{a}}_x)& \cos ({\vec{b}}_x,{\vec{a}}_y)\\ \cos ({\vec{b}}_y,{\vec{a}}_x)& \cos ({\vec{b}}_y,{\vec{a}}_y)\end{array}\right]$$

3.2 方向余弦与旋转矩阵的等价性

对于平面旋转角 $\theta$：

$$\begin{array}{rl}\cos ({\vec{b}}_x,{\vec{a}}_x)& =\cos \theta \\ \cos ({\vec{b}}_x,{\vec{a}}_y)& =\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta \\ \cos ({\vec{b}}_y,{\vec{a}}_x)& =\cos (90^{\circ }+\theta )=-\sin \theta \\ \cos ({\vec{b}}_y,{\vec{a}}_y)& =\cos \theta \end{array}$$

因此方向余弦矩阵与旋转矩阵等价：

$${\mathbf{C}}_{ba}=\mathbf{R}(\theta )$$

方向余弦矩阵（DCM）

在三维空间中，方向余弦矩阵是旋转矩阵的推广形式，因此旋转矩阵也称为 DCM。

四、旋转矩阵的代数性质

4.1 正交性

旋转矩阵是正交矩阵，满足：

$${\mathbf{R}}^{\top }\mathbf{R}=\mathbf{R}{\mathbf{R}}^{\top }=\mathbf{I}$$

证明：

$${\mathbf{R}}^{\top }\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

4.2 行列式

旋转矩阵的行列式：

$$\det (\mathbf{R})={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

4.3 逆矩阵

旋转矩阵的逆等于其转置：

$${\mathbf{R}}^{-1}={\mathbf{R}}^{\top }$$

物理意义：从 $\{\mathbf{b}\}$ 系变换回 $\{\mathbf{a}\}$ 系，只需反向旋转 $-\theta$。

4.4 旋转的合成

连续两次旋转 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$：

$$\mathbf{R}({\theta }_2)\mathbf{R}({\theta }_1)=\mathbf{R}({\theta }_1+{\theta }_2)$$

平面旋转的可交换性

在二维平面中，旋转矩阵满足交换律：

$$\mathbf{R}({\theta }_1)\mathbf{R}({\theta }_2)=\mathbf{R}({\theta }_2)\mathbf{R}({\theta }_1)$$

这与三维旋转不同（三维旋转不可交换）。

五、车辆动力学中的应用

5.1 大地系与车身系的速度变换

车身速度 $(v_x,v_y)$ 到大地速度 $(\dot{X},\dot{Y})$ 的变换（$\psi$ 为横摆角）：

$$\left[\begin{array}{c}\dot{X}\\ \dot{Y}\end{array}\right]=\mathbf{R}(\psi )\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \psi & -\sin \psi \\ \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]$$

5.2 车身系与轮胎系的速度变换

轮胎坐标系相对车身坐标系旋转 $\delta$ 角（转向角）：

$$\left[\begin{array}{c}{v}_{wx}\\ v_{wy}\end{array}\right]=\mathbf{R}(-\delta )\left[\begin{array}{c}{v}_{bx}\\ v_{by}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \delta & \sin \delta \\ -\sin \delta & \cos \delta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_{bx}\\ v_{by}\end{array}\right]$$

5.3 力的坐标变换

轮胎力从轮胎系变换到车身系：

$${\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\end{array}\right]}_{\text{body}}=\mathbf{R}(\delta ){\left[\begin{array}{c}{F}_{wx}\\ F_{wy}\end{array}\right]}_{\text{wheel}}$$

六、相关内容

• 02-绝对运动与相对运动的速度合成理论
• 01-大地坐标系的定义与惯性基准建立
• 01-车身坐标系的质心对齐与轴系约定