基于收缩映射的局部稳定性条件

一、收缩映射与 Banach 不动点定理

1.1 收缩映射定义

定义（收缩映射）：设 $(M,d)$ 是度量空间，映射 $T:M\to M$ 称为收缩映射，如果存在常数 $\alpha \in [0,1)$，使得：

$$d(T(x),T(y))\le \alpha \cdot d(x,y),\forall x,y\in M$$

其中 $\alpha$ 称为收缩因子。

物理意义：

• 映射 $T$ 将任意两点之间的距离”收缩”
• $\alpha$ 越小，收缩越快

1.2 Banach 不动点定理

定理（Banach 不动点定理）：若 $(M,d)$ 是完备度量空间，$T:M\to M$ 是收缩映射，则：

1. 存在性：$T$ 存在唯一不动点 $x^{\ast }\in M$，即 $T(x^{\ast })=x^{\ast }$
2. 收敛性：对任意 $x_0\in M$，迭代序列 $x_{k+1}=T(x_k)$ 收敛到 $x^{\ast }$
3. 收敛速率： $$d(x_k,x^{\ast })\le \frac{{\alpha }^k}{1-\alpha }d(x_1,x_0)$$

1.3 在 NMPC 中的应用

NMPC 闭环系统：

$$x(k+1)=f(x(k),u^{\ast }(x(k)))\triangleq F(x(k))$$

其中 $u^{\ast }(x(k))$ 是 MPC 优化问题的最优解。

稳定性分析思路：

• 若 $F(x)$ 是收缩映射，则 $x(k)\to 0$（原点是唯一不动点）
• 需证明 $F(0)=0$ 且 $\Vert F(x)-F(0)\Vert \le \alpha \Vert x\Vert$

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二、NMPC 闭环系统

2.1 隐式反馈律

MPC 优化问题的解定义了一个隐式反馈律：

$$u^{\ast }(x)=\arg \underset{u}{\min }{J}_N(x,u)\text{s.t. 约束}$$

闭环动态：

$$x(k+1)=f(x(k),u^{\ast }(x(k)))\triangleq F_{\text{MPC}}(x(k))$$

2.2 原点平衡点

假设：

1. $f(0,0)=0$（原点是系统平衡点）
2. $\ell (0,0)=0$（原点代价为零）
3. $V(0)=0$（终端代价在原点为零）

命题：在上述假设下，原点是闭环系统的平衡点：

$$F_{\text{MPC}}(0)=f(0,u^{\ast }(0))=f(0,0)=0$$

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三、局部 Lipschitz 连续性

3.1 最优解的 Lipschitz 性质

引理（最优解的 Lipschitz 连续性）：若：

1. 二阶充分条件：Hessian 矩阵正定
2. LICQ：线性无关约束规格成立
3. 严格互补松弛： aktif 约束的乘子非零

则最优解映射 $x\mapsto u^{\ast }(x)$ 在最优点附近是局部 Lipschitz 连续的：

$$\Vert u^{\ast }(x_1)-u^{\ast }(x_2)\Vert \le L_u\Vert x_1-x_2\Vert$$

3.2 闭环动态的 Lipschitz 常数

命题：闭环动态 $F_{\text{MPC}}(x)=f(x,u^{\ast }(x))$ 的 Lipschitz 常数：

$$L_F\le L_x+L_u\cdot L_{f_u}$$

其中：

• $L_x$ 是 $f$ 关于 $x$ 的 Lipschitz 常数
• $L_u$ 是 $u^{\ast }$ 关于 $x$ 的 Lipschitz 常数
• $L_{f_u}$ 是 $f$ 关于 $u$ 的 Lipschitz 常数

3.3 收缩条件

定理（局部稳定性）：若闭环动态的 Lipschitz 常数 $L_F<1$，则：

$$\Vert x(k+1)\Vert =\Vert F_{\text{MPC}}(x(k))\Vert \le L_F\Vert x(k)\Vert$$

因此 $x(k)\to 0$（渐近稳定）。

收缩条件：

$$L_x+L_u\cdot L_{f_u}<1$$

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四、Lyapunov 函数方法

4.1 最优值函数作为 Lyapunov 候选

定义：$V(x)=J_N^{\ast }(x)$（最优值函数）

正定性：

• $V(0)=0$
• $V(x)>0,\forall x\ne 0$（若 $(f,{\ell }^{1/2})$ 可检测）

4.2 下降性条件

定理（下降性）：若终端设计满足：

1. $V_f(x)$ 是局部控制 Lyapunov 函数
2. 存在局部控制律 $u=\kappa (x)$ 使得： $$V_f(f(x,\kappa (x)))-V_f(x)\le -\ell (x,\kappa (x))$$

则最优值函数满足：

$$V(x(k+1))-V(x(k))\le -\ell (x(k),u^{\ast }(k))$$

4.3 证明思路

Shift 构造（非线性情况）：

时刻 $k$ 的最优解：$U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$

时刻 $k+1$ 的候选解：

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },\kappa (x_{N|k}^{\ast })\}$$

其中 $\kappa (\cdot )$ 是局部稳定化控制律。

代价差：

$$\begin{array}{rl}& J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))\\ =& -\ell (x(k),u^{\ast }(k))+V_f(x_{N|k+1})-V_f(x_{N|k}^{\ast })+\sum _{i=1}^{N-1}\ell (x_i,u_i)-\sum _{i=0}^{N-1}\ell (x_i,u_i)\\ =& -\ell (x(k),u^{\ast }(k))+\underset{\le -\ell (x_{N|k}^{\ast },\kappa (x_{N|k}^{\ast }))}{\underbrace{V_f(f(x_{N|k}^{\ast },\kappa (x_{N|k}^{\ast })))-V_f(x_{N|k}^{\ast })}}\end{array}$$

利用最优性 $J^{\ast }(x(k+1))\le J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})$：

$$V(x(k+1))-V(x(k))\le -\ell (x(k),u^{\ast }(k))-\ell (x_{N|k}^{\ast },\kappa (x_{N|k}^{\ast }))\le -\ell (x(k),u^{\ast }(k))$$

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五、终端设计

5.1 终端代价

选择：$V_f(x)=x^{\top }Px$（二次型）或更一般的正定函数。

局部 Lyapunov 条件：

$$V_f(f(x,\kappa (x)))-V_f(x)\le -\ell (x,\kappa (x)),\forall x\in {\mathcal{X}}_f$$

5.2 终端集

定义（终端集）：

$${\mathcal{X}}_f=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid V_f(x)\le r\}$$

其中 $r>0$ 的选择使得：

1. ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集
2. 局部控制律 $\kappa (x)$ 在 ${\mathcal{X}}_f$ 内可行
3. Lyapunov 下降条件成立

5.3 计算方法

步骤 1：选择局部控制律 $\kappa (x)$（如 LQR 增益）

步骤 2：求解 Lyapunov 方程得 $P$

步骤 3：计算最大 $r$ 使得：

$$V_f(f(x,\kappa (x)))-V_f(x)\le -\ell (x,\kappa (x)),\forall x:V_f(x)\le r$$

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六、稳定性定理

6.1 主定理

定理（NMPC 局部渐近稳定性）：对于非线性 MPC，若：

1. 终端代价：$V_f(x)$ 是局部控制 Lyapunov 函数
2. 终端集：${\mathcal{X}}_f$ 是正不变集
3. 局部控制律：$\kappa (x)$ 在 ${\mathcal{X}}_f$ 内可行且稳定
4. 权重矩阵：$\ell (x,u)$ 正定

则闭环系统原点是局部渐近稳定的：

$$x(0)\in {\mathcal{F}}_N⟹x(k)\to 0\text{当}k\to \infty$$

6.2 全局稳定性

命题：若上述条件在全局成立（而非仅在局部），且 $V(x)$ 径向无界，则原点是全局渐近稳定的。

充分条件：

1. $f(x,u)$ 全局 Lipschitz
2. $\ell (x,u)$ 径向无界
3. ${\mathcal{X}}_f={\mathbb{R}}^n$（无终端约束）或 ${\mathcal{X}}_f$ 足够大

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七、数值示例

7.1 非线性系统

倒立摆（线性化对比）：

非线性：

$$\ddot{\theta }=\frac{g}{l}\sin (\theta )-\frac{b}{m{l}^2}\dot{\theta }+\frac{1}{m{l}^2}u$$

线性化（小角度）：

$$\ddot{\theta }=\frac{g}{l}\theta -\frac{b}{m{l}^2}\dot{\theta }+\frac{1}{m{l}^2}u$$

7.2 稳定性对比

初始角度	线性 MPC	非线性 MPC
${\theta }_0=5^{\circ }$	稳定	稳定
${\theta }_0=30^{\circ }$	不稳定	稳定
${\theta }_0=60^{\circ }$	不稳定	可能不稳定

观察：

• 线性 MPC 仅在小角度稳定
• 非线性 MPC 在更大范围内稳定
• 两者都有局部稳定性保证

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八、总结

概念	公式/结论
收缩映射	$d(T(x),T(y))\le \alpha d(x,y),\alpha <1$
Banach 不动点	存在唯一不动点且迭代收敛
Lipschitz 条件	$\Vert F(x)-F(0)\Vert \le L_F\Vert x\Vert$
收缩条件	$L_F<1$
Lyapunov 下降	$V(x(k+1))-V(x(k))\le -\ell (x(k),u^{\ast }(k))$
终端设计	$V_f,{\mathcal{X}}_f,\kappa (x)$ 协调设计

核心结论

NMPC 局部稳定性分析：

1. 收缩映射：若 $L_F<1$，则 $x(k)\to 0$
2. Lyapunov 函数：最优值函数 $V(x)=J_N^{\ast }(x)$ 可作为 Lyapunov 候选
3. 终端设计：$V_f,{\mathcal{X}}_f,\kappa (x)$ 需协调保证下降性
4. 局部性：稳定性通常仅在可行域 ${\mathcal{F}}_N$ 内保证

相关内容

离散化误差见 01-连续系统离散化误差分析 SQP 方法见 02-局部线性化与 SQP 收敛性 线性 MPC 稳定性见 02-Lyapunov 函数下降性推导

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本