连续系统离散化误差分析

一、非线性系统模型

1.1 连续时间模型

非线性连续时间系统：

$$\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))$$

其中：

• $x(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 是状态
• $u(t)\in {\mathbb{R}}^m$ 是控制输入
• $f:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 是非线性向量场

1.2 基本假设

假设（Lipschitz 连续性）：函数 $f(x,u)$ 关于 $x$ 是 Lipschitz 连续的，即存在常数 $L_x>0$，使得：

$$\Vert f(x_1,u)-f(x_2,u)\Vert \le L_x\Vert x_1-x_2\Vert ,\forall x_1,x_2\in {\mathbb{R}}^n,\forall u\in \mathcal{U}$$

其中 $L_x$ 称为Lipschitz 常数。

物理意义：

• Lipschitz 连续性保证解的存在唯一性
• $L_x$ 越大，系统对状态变化越敏感

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二、数值离散化方法

2.1 零阶保持器假设

假设：控制输入在每个采样周期内保持恒定：

$$u(t)=u(k),t\in [k{T}_s,(k+1)T_s)$$

其中 $T_s$ 是采样周期。

2.2 精确离散化

精确离散化公式：

$$x(k+1)=x(k)+{\int }_{k{T}_s}^{(k+1)T_s}f(x(\tau ),u(k))d\tau$$

问题：对于非线性系统，该积分通常无法解析计算，需数值近似。

2.3 欧拉离散化

前向欧拉法（显式欧拉）：

$$x(k+1)=x(k)+T_{s}f(x(k),u(k))$$

局部截断误差：

$$\Vert x_{\text{exact}}(T_s)-x_{\text{Euler}}(T_s)\Vert =O(T_s^2)$$

后向欧拉法（隐式欧拉）：

$$x(k+1)=x(k)+T_{s}f(x(k+1),u(k))$$

需迭代求解。

2.4 龙格 - 库塔法 (RK4)

经典四阶龙格 - 库塔法：

$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(x(k),u(k))\\ k_2& =f(x(k)+\frac{T_s}{2}{k}_1,u(k))\\ k_3& =f(x(k)+\frac{T_s}{2}{k}_2,u(k))\\ k_4& =f(x(k)+T_s{k}_3,u(k))\\ x(k+1)& =x(k)+\frac{T_s}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\end{array}$$

局部截断误差：$O(T_s^5)$

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三、离散化误差分析

3.1 局部误差与全局误差

定义：

误差类型	定义	量级
局部截断误差	单步离散化的误差	$O(T_s^{p+1})$
全局累积误差	预测时域内的总误差	$O(T_s^p)$

其中 $p$ 是方法的阶数。

3.2 欧拉法误差分析

命题（欧拉法全局误差）：对于 Lipschitz 连续系统，欧拉离散化的全局误差满足：

$$\Vert x(k)-x_d(k)\Vert \le \frac{M}{2L_x}(e^{L_{x}k{T}_s}-1)T_s$$

其中：

• $x(k)$ 是精确解
• $x_d(k)$ 是欧拉近似解
• $M={\sup }_{t,u}\Vert \ddot{x}(t)\Vert$ 是加速度上界
• $L_x$ 是 Lipschitz 常数

3.3 Gronwall 不等式

引理（Gronwall 不等式）：若函数 $e(t)$ 满足：

$$e(t)\le \alpha +{\int }_0^t\beta e(\tau )d\tau$$

其中 $\alpha ,\beta \ge 0$，则：

$$e(t)\le \alpha e^{\beta t}$$

3.4 误差传播推导

误差动态：令 $e(k)=x(k)-x_d(k)$

$$\begin{array}{rl}e(k+1)& =x(k+1)-x_d(k+1)\\ & =f(x(k),u(k))-f_d(x_d(k),u(k))+\text{局部误差}\\ & \approx f(x(k),u(k))-f(x_d(k),u(k))+{\delta }_{\text{local}}\end{array}$$

利用 Lipschitz 连续性：

$$\Vert e(k+1)\Vert \le (1+L_x{T}_s)\Vert e(k)\Vert +{\delta }_{\text{local}}$$

迭代得：

$$\Vert e(k)\Vert \le (1+L_x{T}_s{)}^k\Vert e(0)\Vert +\frac{(1+L_x{T}_s{)}^k-1}{L_x{T}_s}{\delta }_{\text{local}}$$

利用 $(1+a{)}^k\le e^{ak}$：

$$\Vert e(k)\Vert \le e^{L_{x}k{T}_s}\Vert e(0)\Vert +\frac{e^{L_{x}k{T}_s}-1}{L_x}\cdot \frac{{\delta }_{\text{local}}}{T_s}$$

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四、预测时域内的误差界

4.1 预测误差累积

命题：在预测时域 $N$ 内，离散化误差的上界为：

$$\underset{0\le i\le N}{\max }\Vert x_{i|k}-x_{i|k}^d\Vert \le \frac{M}{2L_x}(e^{L_{x}N{T}_s}-1)T_s$$

观察：

• 误差随时域 $N$ 指数增长
• 误差随采样周期 $T_s$ 线性增长（欧拉法）
• Lipschitz 常数 $L_x$ 越大，误差增长越快

4.2 误差界数值示例

参数	值
$L_x$	2.0
$M$	1.0
$T_s$	0.1s
$N$	10, 20, 50

$N$	误差界
10	0.37
20	1.32
50	10.97

观察：误差随 $N$ 指数增长，长时域预测需谨慎。

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五、采样周期选择

5.1 设计准则

准则 1：误差限制

选择 $T_s$ 使得预测时域内的最大误差小于允许值 $\epsilon$：

$$\frac{M}{2L_x}(e^{L_{x}N{T}_s}-1)T_s\le \epsilon$$

准则 2：带宽限制

$$T_s\le \frac{\pi }{5{\omega }_{\text{bw}}}$$

其中 ${\omega }_{\text{bw}}$ 是系统带宽。

准则 3：计算负担

$$T_s\ge \frac{t_{\text{compute}}}{\alpha }$$

其中 $t_{\text{compute}}$ 是优化求解时间，$\alpha \in (0,1)$ 是安全系数。

5.2 高阶方法的优势

方法	全局误差	适用场景
欧拉法	$O(T_s)$	快速原型、简单系统
RK2	$O(T_s^2)$	中等精度要求
RK4	$O(T_s^4)$	高精度要求
隐式方法	$O(T_s^p)$	刚性系统

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六、模型失配分析

6.1 模型 - 实际差异

实际系统：

$$\dot{x}=f_{\text{true}}(x,u)$$

模型系统：

$$\dot{x}=f_{\text{model}}(x,u)$$

模型误差：

$$\Vert f_{\text{true}}(x,u)-f_{\text{model}}(x,u)\Vert \le {\delta }_{\text{model}}$$

6.2 复合误差界

命题：同时考虑离散化误差和模型失配：

$$\Vert x_{\text{true}}(k)-x_d(k)\Vert \le \underset{\text{离散化误差}}{\underbrace{\frac{M}{2L_x}(e^{L_{x}k{T}_s}-1)T_s}}+\underset{\text{模型失配}}{\underbrace{\frac{{\delta }_{\text{model}}}{L_x}(e^{L_{x}k{T}_s}-1)}}$$

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七、总结

概念	公式/结论
Lipschitz 连续性	$\Vert f(x_1)-f(x_2)\Vert \le L_x\Vert x_1-x_2\Vert$
欧拉法误差	全局 $O(T_s)$
RK4 法误差	全局 $O(T_s^4)$
Gronwall 不等式	$e(t)\le \alpha e^{\beta t}$
预测误差界	$\frac{M}{2L_x}(e^{L_{x}N{T}_s}-1)T_s$

核心结论

非线性系统离散化误差分析：

1. Lipschitz 连续性保证误差有界
2. Gronwall 不等式给出指数增长上界
3. 预测时域越长，误差累积越大
4. 高阶方法（如 RK4）可显著减小误差

相关内容

SQP 方法见 02-局部线性化与 SQP 收敛性 稳定性分析见 03-基于收缩映射的局部稳定性条件

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本