预测安全滤波器 PSF

预测安全滤波器 (Predictive Safety Filter, PSF)

一、PSF 概述

1.1 目的与应用场景

预测安全滤波器 (PSF) 的目的是对已有的控制输入 $u_{\mathcal{L}}$（来自任意控制器，如 RL、PID、MPC 等）进行修正，计算新的控制输入 $u_{\mathcal{S}}$，使得被控系统在未来一段时间内始终满足：

• 状态约束 $x(k)\in \mathcal{X}$
• 输入约束 $u(k)\in \mathcal{U}$
• 最终收敛到安全终端集 ${\mathcal{S}}_f$

应用场景：

• 强化学习控制器的安全保护
• 学习基于 MPC 的安全层
• 任意控制器与安全性的解耦设计

1.2 与 MPC 的本质区别

特性	MPC	PSF
目标	优化性能指标	保证安全性
代价函数	状态/输入跟踪误差	最小化控制修正 $\Vert u_{\mathcal{L}}-u_{\mathcal{S}}\Vert$
终端代价	需要（保证稳定性）	不需要（只需可行性）
保证	稳定性 + 约束满足	仅约束满足

核心区别

PSF 不保证被控系统的稳定性，只保证状态量处于安全约束内。

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二、标准线性模型 PSF

2.1 优化问题

标准线性系统 PSF 的优化问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{u_{i|k}}{\min }& J=\Vert u_{\mathcal{L}}-u_{0|k}{\Vert }_W^2\\ \text{s.t.}& x_{0|k}=x(k)\\ & x_{i+1|k}=A{x}_{i|k}+B{u}_{i|k},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{i|k}\in \mathcal{X},i=1,\dots ,N\\ & u_{i|k}\in \mathcal{U},i=0,\dots ,N-1\\ & x_{N|k}\in {\mathcal{S}}_f\end{array}$$

其中：

• $u_{\mathcal{L}}$ 是来自外部控制器的期望控制量
• $W\succ 0$ 是控制修正的权重矩阵
• ${\mathcal{S}}_f$ 是安全终端集

2.2 安全终端集定义

定义（安全终端集）：${\mathcal{S}}_f$ 具有如下性质：

存在控制律 $u_f:{\mathcal{S}}_f\to \mathcal{U}$ 和正不变集 ${\mathcal{S}}_f\subseteq \mathcal{X}$，使得：

$$\forall x\in {\mathcal{S}}_f:u_f(x)\in \mathcal{U}\text{且}Ax+B{u}_f(x)\in {\mathcal{S}}_f$$

物理意义：一旦状态进入 ${\mathcal{S}}_f$，存在控制律使其永远留在 ${\mathcal{S}}_f$ 内。

2.3 控制律实施逻辑

每次求解优化问题时：

情况 1：有可行解

• 令 $u_{\mathcal{S}}=u_{0|k}^{\ast }$
• 记录当前时刻 $\bar{k}=k$
• 储存 $N$ 个最优控制序列 $\{u_{0|\bar{k}}^{\ast },\dots ,u_{N-1|\bar{k}}^{\ast }\}$

情况 2：无可行解

• 若 $k-\bar{k}\le N-1$：使用储存序列的剩余部分 $$u_{\mathcal{S}}=u_{k-\bar{k}|\bar{k}}^{\ast }$$
• 若 $k-\bar{k}>N-1$：使用终端控制律 $$u_{\mathcal{S}}=u_f(x(k))$$

graph TD
    A[求解优化问题] --> B{有可行解？}
    B -->|是 | C[u_S = u*_{0|k}]
    B -->|否 | D{k - k̄ ≤ N-1?}
    D -->|是 | E[u_S = u*_{k-k̄|k̄}]
    D -->|否 | F[u_S = u_f x]
    C --> G[更新 k̄ = k]
    E --> H[实施控制]
    F --> H
    G --> H

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三、线性误差模型 PSF

3.1 受扰系统模型

真实系统（有扰动）：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k),w(k)\in \mathcal{W}$$

标称系统：

$$z(k+1)=Az(k)+Bv(k)$$

3.2 误差动态

定义误差：$e(k)=x(k)-z(k)$

实际控制律：

$$u(k)=v(k)-K_{\mathcal{E}}(x(k)-z(k))$$

误差动态方程：

$$e(k+1)=(A-B{K}_{\mathcal{E}})e(k)+w(k)$$

3.3 误差不变集

误差不变集 $\mathcal{E}$ 满足：

$$e\in \mathcal{E},w\in \mathcal{W}⟹(A-B{K}_{\mathcal{E}})e+w\in \mathcal{E}$$

显式公式：

$$\mathcal{E}=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨁}}(A-B{K}_{\mathcal{E}}{)}^i\mathcal{W}$$

3.4 约束紧缩

为保证实际系统满足约束，需对标称系统施加紧缩约束：

$$\begin{array}{rl}z(k)& \in \mathcal{X}\ominus \mathcal{E}\triangleq {\mathcal{X}}_t\\ v(k)& \in \mathcal{U}\ominus K_{\mathcal{E}}\mathcal{E}\triangleq {\mathcal{U}}_t\end{array}$$

3.5 优化问题

线性误差模型 PSF 优化问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{v_{i|k}}{\min }& J=\Vert u_{\mathcal{L}}-u_{0|k}{\Vert }_W^2\\ \text{s.t.}& z_{0|k}=z(k)\\ & z_{i+1|k}=A{z}_{i|k}+B{v}_{i|k}\\ & z_{i|k}\in \mathcal{X}\ominus \mathcal{E},i=1,\dots ,N\\ & v_{i|k}\in \mathcal{U}\ominus K_{\mathcal{E}}\mathcal{E},i=0,\dots ,N-1\\ & u_{0|k}=v_{0|k}-K_{\mathcal{E}}(x(k)-z_{k-\bar{k}|\bar{k}})\\ & z_{N|k}\in {\mathcal{Z}}_f={\mathcal{S}}_f\ominus \mathcal{E}\end{array}$$

3.6 控制律实施逻辑

与标准 PSF 类似：

情况 1：有可行解

• 令 $u_{\mathcal{S}}=u_{0|k}^{\ast }$
• 记录 $\bar{k}=k$
• 储存标称控制序列 $\{v_{0|\bar{k}}^{\ast },\dots ,v_{N-1|\bar{k}}^{\ast }\}$

情况 2：无可行解

• 若 $k-\bar{k}\le N-1$： $$u_{\mathcal{S}}=v_{k-\bar{k}|\bar{k}}^{\ast }-K_{\mathcal{E}}(x(k)-z_{k-\bar{k}|\bar{k}})$$
• 若 $k-\bar{k}>N-1$： $$u_{\mathcal{S}}=-K_{\mathcal{E}}(x(k)-z_{k-N|\bar{k}})$$

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四、PSF 与 Tube MPC 的对比

方面	Tube MPC	PSF
目的	跟踪参考信号 + 鲁棒性	安全性保护
优化目标	跟踪性能	最小化控制修正
终端约束	需要稳定性保证	只需可行性保证
控制律	标称 MPC + 反馈校正	外部控制器 + 安全滤波
应用场景	鲁棒跟踪控制	安全关键系统

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五、设计建议

5.1 终端集设计

方法 1：基于 LQR 的终端集

1. 求解 DARE 得 $P_{\infty }$ 和 $K_{\infty }$
2. 计算最大不变集 ${\mathcal{O}}_{\infty }$
3. 取 ${\mathcal{S}}_f={\mathcal{O}}_{\infty }$

方法 2：椭球终端集

$${\mathcal{S}}_f=\{x\mid x^{\top }Px\le 1\}$$

通过 SDP 优化最大化体积。

5.2 权重选择

权重	影响
增大 $W$	更保守，更少修正 $u_{\mathcal{L}}$
减小 $W$	更激进，允许更多修正

5.3 预测时域选择

原则：$N$ 应足够大，使得从任意可行状态能在 $N$ 步内到达 ${\mathcal{S}}_f$。

$$N\ge \underset{x\in \mathcal{X}}{\max }\min \{k\mid x(k)\in {\mathcal{S}}_f\}$$

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六、数值示例

6.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$

约束：

$$\mathcal{X}=\{x\mid |x_1|\le 5,|x_2|\le 10\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

6.2 终端集计算

使用 LQR 增益 $K_{\infty }$，计算得：

$${\mathcal{S}}_f=\{x\mid |x_1|\le 2,|x_2|\le 5\}$$

6.3 仿真场景

场景：外部控制器 $u_{\mathcal{L}}$ 试图违反约束

时刻	$u_{\mathcal{L}}$	$u_{\mathcal{S}}$	修正量
$k=0$	1.5	1.0	0.5
$k=1$	1.2	0.8	0.4
$k=5$	0.5	0.5	0.0

观察：

• PSF 在可能违反约束时进行修正
• 当 $u_{\mathcal{L}}$ 安全时不干预

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七、总结

概念	说明
PSF 目的	对任意控制器输出进行安全过滤
优化目标	$\min \Vert u_{\mathcal{L}}-u_{\mathcal{S}}\Vert$
终端集	${\mathcal{S}}_f$ 是安全不变集
实施逻辑	有解用最优解，无解用储存序列/终端控制律
与 Tube MPC 关系	误差动态和约束紧缩类似

相关内容

Tube MPC 见01-有界扰动下的状态管概念 约束紧缩见02-标称系统约束紧缩原理 不变集计算见02-终端不等式约束与终端集 Xf

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本