扰动不变集与实际轨迹可行性保证

一、扰动不变集的性质

1.1 鲁棒控制不变集

定义（鲁棒控制不变集）：集合 $\mathcal{C}\subset {\mathbb{R}}^n$ 称为系统 $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)$ 的鲁棒控制不变集，如果：

$$\forall x\in \mathcal{C},\exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu+w\in \mathcal{C},\forall w\in \mathcal{W}$$

物理意义：一旦状态进入 $\mathcal{C}$，存在控制律使其永远留在 $\mathcal{C}$ 内，无论扰动如何。

1.2 误差不变集

误差动态：$e(k+1)=(A-BK)e(k)+w(k)$

定义（误差不变集）：集合 $\mathcal{E}$ 称为误差动态的鲁棒不变集，如果：

$$e\in \mathcal{E},w\in \mathcal{W}⟹(A-BK)e+w\in \mathcal{E}$$

1.3 最小不变集

定义（最小鲁棒不变集 MRPI）：

$${\mathcal{E}}_{\min }=\bigcap \{\mathcal{E}\mid \mathcal{E}\text{ 是鲁棒不变集}\}$$

显式公式：

$${\mathcal{E}}_{\min }=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨁}}(A-BK{)}^i\mathcal{W}$$

收敛条件：$\rho (A-BK)<1$（谱半径小于 1）

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二、不变集的计算方法

2.1 迭代算法

算法（多面体不变集计算）：

输入：A_K = A-BK, W, X, U
输出：E (不变集近似)

1. 初始化：E₀ = {0}
2. For k = 0, 1, 2, ...:
   E_{k+1} = conv(E_k ∪ (A_K E_k ⊕ W))
   If E_{k+1} = E_k (或数值收敛):
       Return E = E_k

其中 $\text{conv}(\cdot )$ 表示凸包。

2.2 有限步终止条件

命题：对于某些系统，不变集可在有限步内精确计算：

$${\mathcal{E}}_k={\mathcal{E}}_{k+1}=\cdots ={\mathcal{E}}_{\min }$$

终止条件：

$$A_K{\mathcal{E}}_k\oplus \mathcal{W}\subseteq {\mathcal{E}}_k$$

2.3 椭球不变集

命题：若 $\mathcal{W}=\{w\mid w^{\top }{P}_{w}w\le 1\}$，则不变集可近似为椭球：

$$\mathcal{E}=\{e\mid e^{\top }{P}_{e}e\le 1\}$$

Lyapunov 方程：$P_e$ 满足

$$(A-BK{)}^{\top }{P}_e(A-BK)-P_e=-Q_e$$

其中 $Q_e$ 与 $P_w$ 相关。

2.4 数值工具

工具	功能
MPT3 (MATLAB)	多面体运算、不变集计算
YALMIP	优化建模、LMI 求解
PPL	精确多面体运算

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三、鲁棒递归可行性

3.1 定义

定义（鲁棒递归可行性）：Tube MPC 问题是鲁棒递归可行的，如果：

$$x(0)\in {\mathcal{F}}_N^R⟹x(k)\in {\mathcal{F}}_N^R,\forall k\ge 0,\forall w(k)\in \mathcal{W}$$

其中 ${\mathcal{F}}_N^R$ 是鲁棒可行域。

3.2 鲁棒可行域

定义：

$${\mathcal{F}}_N^R=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists z\text{ s.t. }x-z\in \mathcal{E},z\in {\mathcal{F}}_N^{\text{nominal}}\}$$

其中 ${\mathcal{F}}_N^{\text{nominal}}$ 是标称 MPC 的可行域。

展开：

$${\mathcal{F}}_N^R={\mathcal{F}}_N^{\text{nominal}}\oplus \mathcal{E}$$

3.3 可行性传递机制

命题：若 Tube MPC 在时刻 $k$ 可行，则在时刻 $k+1$ 仍可行。

证明思路：

1. 时刻 $k$：存在标称轨迹 $Z_k^{\ast }$ 和控制 $V_k^{\ast }$
2. 实际控制：$u(k)=v^{\ast }(k)-Ke(k)$
3. 实际状态：$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)$
4. 误差：$e(k+1)=(A-BK)e(k)+w(k)\in \mathcal{E}$（不变性）
5. 标称状态：$z(k+1)=x(k+1)-e(k+1)$
6. 可行性：$z(k+1)\in {\mathcal{X}}_t$，问题可行

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四、稳定性分析

4.1 稳定性定理

定理（Tube MPC 稳定性）：对于 Tube MPC，若：

1. 标称 MPC 设计保证标称系统渐近稳定
2. 误差不变集 $\mathcal{E}$ 有界
3. 紧缩约束 ${\mathcal{X}}_t,{\mathcal{U}}_t$ 非空

则受扰闭环系统满足：

$$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert x(k)\Vert \le \underset{e\in \mathcal{E}}{\max }\Vert e\Vert$$

即状态收敛到以原点为中心、$\mathcal{E}$ 为边界的集合内。

4.2 证明思路

Lyapunov 函数：使用标称最优值函数 $V(z)=J^{\ast }(z)$

下降性（对标称系统）：

$$V(z(k+1))-V(z(k))\le -z(k{)}^{\top }Qz(k)$$

实际状态：

$$x(k)=z(k)+e(k)$$

稳态界：

$$\Vert x(k)\Vert \le \Vert z(k)\Vert +\Vert e(k)\Vert$$

由于 $z(k)\to 0$ 且 $e(k)\in \mathcal{E}$：

$$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert x(k)\Vert \le \underset{e\in \mathcal{E}}{\max }\Vert e\Vert$$

4.3 输入 - 状态稳定性 (ISS)

命题：Tube MPC 闭环系统满足 ISS 性质：

$$\Vert x(k)\Vert \le \beta (\Vert x(0)\Vert ,k)+\gamma \left(\underset{0\le i<k}{\sup }\Vert w(i)\Vert \right)$$

其中：

• $\beta$ 是 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 函数
• $\gamma$ 是 $\mathcal{K}$ 函数（扰动增益）

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五、实际轨迹约束满足

5.1 状态约束满足

命题：若标称状态 $z(k)\in {\mathcal{X}}_t$ 且 $e(k)\in \mathcal{E}$，则：

$$x(k)=z(k)+e(k)\in \mathcal{X}$$

证明：

$$\begin{array}{rl}z(k)\in {\mathcal{X}}_t& =\mathcal{X}\ominus \mathcal{E}\\ ⟹z(k)+e& \in \mathcal{X},\forall e\in \mathcal{E}\\ ⟹x(k)& \in \mathcal{X}\end{array}$$

5.2 输入约束满足

命题：若标称控制 $v(k)\in {\mathcal{U}}_t$ 且 $e(k)\in \mathcal{E}$，则：

$$u(k)=v(k)-Ke(k)\in \mathcal{U}$$

证明：

$$\begin{array}{rl}v(k)\in {\mathcal{U}}_t& =\mathcal{U}\ominus K\mathcal{E}\\ ⟹v(k)-Ke& \in \mathcal{U},\forall e\in \mathcal{E}\\ ⟹u(k)& \in \mathcal{U}\end{array}$$

5.3 终端约束满足

命题：若标称终端状态 $z_N\in {\mathcal{X}}_f^t$ 且 $e_N\in \mathcal{E}$，则：

$$x_N=z_N+e_N\in {\mathcal{X}}_f$$

其中 ${\mathcal{X}}_f^t={\mathcal{X}}_f\ominus \mathcal{E}$。

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六、Tube MPC 算法总结

6.1 离线计算

1. 选择反馈增益 $K$ 使 $A-BK$ 稳定
2. 计算误差不变集 $\mathcal{E}$
3. 计算紧缩约束：
   • ${\mathcal{X}}_t=\mathcal{X}\ominus \mathcal{E}$
   • ${\mathcal{U}}_t=\mathcal{U}\ominus K\mathcal{E}$
   • ${\mathcal{X}}_f^t={\mathcal{X}}_f\ominus \mathcal{E}$

6.2 在线优化

每个时刻 $k$：

1. 测量状态 $x(k)$
2. 计算误差 $e(k)=x(k)-z(k)$（$z(k)$ 来自上一时刻）
3. 求解标称 MPC： $$\begin{array}{rl}\underset{V_k}{\min }& J_N(z(k),V_k)\\ \text{s.t.}& z_{i+1|k}=A{z}_{i|k}+B{v}_{i|k}\\ & z_{i|k}\in {\mathcal{X}}_t\\ & v_{i|k}\in {\mathcal{U}}_t\\ & z_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f^t\\ & z_{0|k}=z(k)(\text{或优化})\end{array}$$
4. 实施控制：$u(k)=v_{0|k}^{\ast }-Ke(k)$

6.3 理论保证

保证	条件
递归可行性	$x(0)\in {\mathcal{F}}_N^R$
约束满足	$x(k)\in \mathcal{X},u(k)\in \mathcal{U}$
有界稳定性	$\mathrm{limsup}\Vert x(k)\Vert \le \max \Vert \mathcal{E}\Vert$

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七、数值示例

7.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$ $$\mathcal{W}=\{w\mid \Vert w{\Vert }_{\infty }\le 0.05\}$$ $$\mathcal{X}=\{x\mid \Vert x{\Vert }_{\infty }\le 5\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

7.2 设计参数

$$K=\left[\begin{array}{cc}0.87& 1.07\end{array}\right],\mathcal{E}\approx \{e\mid \Vert e{\Vert }_{\infty }\le 0.3\}$$ $${\mathcal{X}}_t=\{z\mid \Vert z{\Vert }_{\infty }\le 4.7\}$$

7.3 仿真结果

场景：$x(0)=[2,0{]}^{\top }$，参考 $r=0$

时刻	标称状态 $z(k)$	误差 $e(k)$	实际状态 $x(k)$
0	$[2.0,0.0]$	$[0,0]$	$[2.0,0.0]$
5	$[0.8,0.1]$	$[0.05,-0.02]$	$[0.85,0.08]$
10	$[0.3,0.05]$	$[-0.03,0.01]$	$[0.27,0.06]$
20	$[0.05,0.01]$	$[0.01,0.00]$	$[0.06,0.01]$

观察：

• 标称轨迹 $z(k)\to 0$
• 误差 $e(k)\in \mathcal{E}$ 始终成立
• 实际轨迹 $x(k)$ 在 Tube 内收敛

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八、总结

概念	公式/结论
误差不变集	$\mathcal{E}={⨁}_{i=0}^{\infty }(A-BK{)}^i\mathcal{W}$
鲁棒可行性	$x(0)\in {\mathcal{F}}_N^R⟹x(k)\in {\mathcal{F}}_N^R$
约束满足	$z\in {\mathcal{X}}_t,e\in \mathcal{E}⟹x\in \mathcal{X}$
稳定性	$\mathrm{limsup}\Vert x(k)\Vert \le {\max }_{e\in \mathcal{E}}\Vert e\Vert$
ISS	$\Vert x(k)\Vert \le \beta (\Vert x(0)\Vert ,k)+\gamma (\Vert w{\Vert }_{\infty })$

核心结论

Tube MPC 的理论保证：

1. 不变集：误差 $e(k)$ 始终在 $\mathcal{E}$ 内
2. 递归可行性：若初始可行，则永远可行
3. 约束满足：实际状态/输入满足原始约束
4. 稳定性：状态收敛到有界集 $\mathcal{E}$

相关内容

Tube 概念见 01-有界扰动下的状态管概念 约束紧缩见 02-标称系统约束紧缩原理 扰动可行性见 03-扰动下的可行性鲁棒性分析

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本