最大控制不变集 (MAS) 计算

一、控制不变集的定义

1.1 基本定义

定义（控制不变集）：集合 $\mathcal{C}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 称为控制不变集，如果对于任意 $x\in \mathcal{C}$，存在控制输入 $u\in \mathcal{U}$ 使得：

$$Ax+Bu\in \mathcal{C}$$

1.2 物理意义

直观理解

一旦系统状态进入控制不变集，就存在一个控制策略，使状态永远留在集合内，同时满足所有约束。

1.3 相关概念

概念	定义	区别
控制不变集	$\exists u\in \mathcal{U}$ s.t. $Ax+Bu\in \mathcal{C}$	存在控制
正不变集	$Ax\in \mathcal{C}$（无控制）	自治系统
鲁棒不变集	$\forall w\in \mathcal{W}$, $Ax+Bu+w\in \mathcal{C}$	有扰动

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二、最大控制不变集 (MAS)

2.1 定义

最大控制不变集 (Maximal Admissible Set, MAS) ${\mathcal{O}}_{\infty }$ 是包含所有控制不变集的并集：

$${\mathcal{O}}_{\infty }=\bigcup \{\mathcal{C}\mid \mathcal{C}\text{ 是控制不变集}\}$$

等价定义为：

$${\mathcal{O}}_{\infty }=\{x_0\in \mathcal{X}\mid \exists \{u(k){\}}_{k=0}^{\infty }\text{ s.t. }x(k)\in \mathcal{X},u(k)\in \mathcal{U},\forall k\ge 0\}$$

2.2 性质

性质	说明
最大性	包含所有控制不变集
唯一性	对给定系统和约束唯一
闭凸性	若 $\mathcal{X},\mathcal{U}$ 是凸集，则 ${\mathcal{O}}_{\infty }$ 也是凸集
包含原点	$0\in {\mathcal{O}}_{\infty }$（假设原点可行）

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三、迭代计算算法

3.1 算法思想

通过迭代收缩的方法计算 MAS：

1. 从状态约束集 $\mathcal{X}$ 开始
2. 逐步剔除不能保持的状态
3. 收敛到最大控制不变集

3.2 算法步骤

算法：计算最大控制不变集 ${\mathcal{O}}_{\infty }$

1. 初始化：${\mathcal{O}}_0=\mathcal{X}$

2. 迭代：对于 $k=0,1,2,\dots$

   $${\mathcal{O}}_{k+1}=\{x\in {\mathcal{O}}_k\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in {\mathcal{O}}_k\}$$

3. 终止条件：当 ${\mathcal{O}}_{k+1}={\mathcal{O}}_k$ 时，算法收敛

4. 输出：${\mathcal{O}}_{\infty }={\mathcal{O}}_k$

3.3 集合运算的显式表达

迭代公式可写为：

$${\mathcal{O}}_{k+1}={\mathcal{O}}_k\cap \text{Pre}({\mathcal{O}}_k)$$

其中 $\text{Pre}(\mathcal{S})$ 是集合 $\mathcal{S}$ 的前向可达集：

$$\text{Pre}(\mathcal{S})=\{x\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in \mathcal{S}\}$$

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四、多面体 MAS 的计算

4.1 多面体表示

假设状态约束和输入约束是多面体：

$$\mathcal{X}=\{x\mid F_{x}x\le f_x\},\mathcal{U}=\{u\mid F_{u}u\le f_u\}$$

4.2 一步集计算

${\mathcal{O}}_1$ 的计算：

$${\mathcal{O}}_1=\{x\in \mathcal{X}\mid \exists u\in \mathcal{U}\text{ s.t. }Ax+Bu\in \mathcal{X}\}$$

通过投影（Projection）或傅里叶 - 莫茨金消元（Fourier-Motzkin Elimination）计算。

4.3 算法实现

使用多面体计算工具：

工具	语言	特点
MPT3	MATLAB	专业 MPC 工具箱
PPL	C++/Python	多面体库
cdd/cdd+	C/Java	凸多面体计算
Polyhedra	Julia	现代计算框架

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五、收敛性分析

5.1 有限步收敛定理

定理：若系统 $(A,B)$ 能稳且约束集有界，则 MAS 迭代算法在有限步内收敛。

5.2 收敛步数估计

收敛所需的迭代次数 $N^{\ast }$ 满足：

$$N^{\ast }\approx \frac{T_{\text{settling}}}{T_s}\approx \frac{3\sim 5}{|\ln (\rho (A_{cl}))|}$$

其中 $\rho (A_{cl})$ 是闭环系统的谱半径。

5.3 不收敛的情况

以下情况可能不收敛（需要无限步）：

• 系统有不稳定模态且不能控
• 约束集无界
• 特征值在单位圆上（临界稳定）

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六、MAS 作为终端集

6.1 终端集选择

MAS 可直接用作 MPC 的终端集：

$${\mathcal{X}}_f={\mathcal{O}}_{\infty }$$

6.2 优势

优势	说明
最大化可行域	${\mathcal{O}}_{\infty }$ 是最大的控制不变集
保证递归可行性	状态一旦进入 ${\mathcal{O}}_{\infty }$ 就永不离开
保证稳定性	配合 $P=P_{\infty }$ 可证明稳定性

6.3 实际应用

实际中常使用近似 MAS：

• 计算 ${\mathcal{O}}_k$（$k$ 有限）作为 ${\mathcal{O}}_{\infty }$ 的内近似
• 减少计算复杂度
• 保守性略增但可接受

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七、示例：二阶系统 MAS 计算

7.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$ $$\mathcal{X}=\{x\mid |x_1|\le 1,|x_2|\le 10\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

7.2 迭代结果

$k$	多面体不等式数	说明
0	4	初始 $\mathcal{X}$
1	8	一步能控集
2	12	二步能控集
5	20	接近收敛
10	24	收敛

7.3 最终 MAS

收敛后得到 ${\mathcal{O}}_{\infty }$，有 24 个面（不等式约束）。

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八、总结

概念	说明
控制不变集	$\exists u\in \mathcal{U}$ s.t. $Ax+Bu\in \mathcal{C}$
MAS	最大的控制不变集 ${\mathcal{O}}_{\infty }$
迭代算法	${\mathcal{O}}_{k+1}=\{x\in {\mathcal{O}}_k\mid \exists u,Ax+Bu\in {\mathcal{O}}_k\}$
收敛	有限步收敛（能稳 + 有界约束）
应用	用作 MPC 终端集 ${\mathcal{X}}_f$

相关内容

• 终端集设计见 02-终端不等式约束与终端集 Xf
• 可行域见 02-硬约束与可行域几何特性
• 递归可行性见 03-递归可行性的初步概念

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本