终端权重 $P$ 与无限时域代价匹配

一、问题的提出

1.1 有限时域与无限时域的差异

考虑两个最优控制问题：

问题 A（无限时域）：

$$J_{\infty }=\sum _{i=0}^{\infty }(x(i{)}^{\top }Qx(i)+u(i{)}^{\top }Ru(i))$$

问题 B（有限时域）：

$$J_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x(i{)}^{\top }Qx(i)+u(i{)}^{\top }Ru(i))+x(N{)}^{\top }Px(N)$$

问题：如何选择终端权重 $P$，使得 $J_N$ 与 $J_{\infty }$ 等价？

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二、终端权重匹配定理

2.1 主定理

定理：若终端权重 $P$ 取为无限时域 DARE 的解 $P_{\infty }$，则有限时域最优控制问题与无限时域最优控制问题完全等价。

即：

$$J_N^{\ast }=J_{\infty }^{\ast }\text{当 }P=P_{\infty }$$

2.2 DARE 方程回顾

$P_{\infty }$ 是以下 DARE 方程的唯一半正定解：

$$P_{\infty }=A^{\top }{P}_{\infty }A-A^{\top }{P}_{\infty }B(R+B^{\top }{P}_{\infty }B{)}^{-1}{B}^{\top }{P}_{\infty }A+Q$$

2.3 证明思路

证明：

1. 无限时域最优值函数为 $V_{\infty }^{\ast }(x)=x^{\top }{P}_{\infty }x$

2. 有限时域最优值函数为 $V_N^{\ast }(x)=x^{\top }{P}_{0}x$，其中 $P_0$ 由 Riccati 差分方程递推得到

3. 若 $P_N=P_{\infty }$，则：

   • $P_{N-1}=P_{\infty }$（因为 $P_{\infty }$ 是不动点）
   • $P_{N-2}=P_{\infty }$
   • $\dots$
   • $P_0=P_{\infty }$

4. 因此 $V_N^{\ast }(x)=V_{\infty }^{\ast }(x)$，即 $J_N^{\ast }=J_{\infty }^{\ast }$

证毕。

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三、等价性的含义

3.1 最优控制律等价

当 $P=P_{\infty }$ 时，有限时域最优控制律为：

$$u^{\ast }(k)=-K_{k}x(k)$$

其中：

$$K_k=(R+B^{\top }{P}_{\infty }B{)}^{-1}{B}^{\top }{P}_{\infty }A=K_{\infty }$$

即有限时域最优控制律等于无限时域 LQR 控制律（时不变）。

3.2 闭环稳定性等价

无限时域 LQR 的闭环系统：

$$x(k+1)=(A-B{K}_{\infty })x(k)$$

是渐近稳定的。

当 $P=P_{\infty }$ 时，有限时域最优控制产生相同的闭环系统，因此也渐近稳定。

3.3 代价等价

最优代价：

$$J_N^{\ast }=x(0{)}^{\top }{P}_{\infty }x(0)=J_{\infty }^{\ast }$$

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四、终端权重不匹配的影响

4.1 $P=0$ 的情况

当终端权重为零时：

$$J_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x(i{)}^{\top }Qx(i)+u(i{)}^{\top }Ru(i))$$

影响：

• 控制器”忽视”终端状态的代价
• 可能导致终端状态 $x(N)$ 过大
• 需要更大的 $N$ 才能逼近无限时域性能

4.2 $P\ne P_{\infty }$ 的情况

终端权重与 DARE 解不匹配时：

$P$ 的选择	效果
$P\prec P_{\infty }$	终端惩罚不足，$x(N)$ 偏大
$P\succ P_{\infty }$	终端惩罚过度，控制过于保守
$P=P_{\infty }$	最优，等价于无限时域

4.3 误差定量

设 $P=P_{\infty }+\Delta P$，则最优代价误差为：

$$J_N^{\ast }-J_{\infty }^{\ast }=x(0{)}^{\top }(P_0-P_{\infty })x(0)$$

其中 $P_0$ 由 Riccati 差分方程从 $P_N=P$ 递推得到。

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五、MPC 中的终端权重设计

5.1 MPC 的有限时域本质

MPC 在每个时刻 $k$ 求解的问题：

$$\underset{U_k}{\min }\sum _{i=0}^{N-1}(\Vert x_{i|k}{\Vert }_Q^2+\Vert u_{i|k}{\Vert }_R^2)+\Vert x_{N|k}{\Vert }_P^2$$

正是一个有限时域最优控制问题。

5.2 终端权重的选择策略

策略	终端权重 $P$	稳定性保证	计算复杂度
DARE 解	$P=P_{\infty }$	✅ 无约束时保证	中等（需解 DARE）
零权重	$P=0$	⚠️ 需 $N$ 足够大	低
加权单位阵	$P=\alpha I$	⚠️ 需调参	低

5.3 与终端集的配合

进阶内容

在有约束 MPC中，终端权重通常与终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 配合使用以保证稳定性：

• 终端等式约束：$x_{N|k}=0$，$P$ 任意
• 终端不等式约束：$x_{N|k}\in {\mathcal{X}}_f$，$P=P_{\infty }$

见 02-终端不等式约束与终端集 Xf 和 03-终端设计对稳定性的影响。

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六、示例：不同终端权重的比较

6.1 系统参数

$$A=0.8,B=0.2,Q=1,R=1,x(0)=1$$

DARE 解：$P_{\infty }\approx 2.09$，最优代价 $J_{\infty }^{\ast }\approx 2.09$。

6.2 不同 $N$ 和 $P$ 的比较

$N$	$P$	$J_N^{\ast }$	误差
5	0	2.56	+22%
5	1	2.38	+14%
5	$P_{\infty }$	2.09	0%
10	0	2.15	+3%
10	$P_{\infty }$	2.09	0%

6.3 观察

• $P=P_{\infty }$ 时，即使 $N=5$，代价也完全等于无限时域最优值
• $P=0$ 时，需要更大的 $N$ 才能逼近最优性能
• $P=P_{\infty }$ 是”最优”的终端权重选择

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七、总结

概念	结论
最优终端权重	$P=P_{\infty }$（DARE 解）
等价条件	$P=P_{\infty }⟹J_N^{\ast }=J_{\infty }^{\ast }$
控制律	$u^{\ast }(k)=-K_{\infty }x(k)$（时不变）
稳定性	与无限时域 LQR 相同
不匹配影响	$P\ne P_{\infty }$ 导致性能下降

相关内容

• DARE 方程见 02-离散代数 Riccati 方程 DARE 求解
• 动态规划见 02-动态规划与逆向递推求解
• MPC 稳定性见 02-最优值函数的单调递减性证明

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本