闭环稳定性与 Lyapunov 方程关联

一、LQR 闭环系统

1.1 最优闭环动态

LQR 最优控制律 $u^{\ast }(k)=-Kx(k)$ 下的闭环系统：

$$x(k+1)=(A-BK)x(k)$$

其中 $K=(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA$，$P$ 是 DARE 的解。

1.2 稳定性定义

渐近稳定：闭环矩阵 $A_{cl}=A-BK$ 的所有特征值都在单位圆内：

$$|\text{eig}(A-BK)|<1$$

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二、Lyapunov 稳定性理论

2.1 离散 Lyapunov 方程

对于线性系统 $x(k+1)=A_{cl}x(k)$，若存在对称正定矩阵 $P\succ 0$ 和 $Q\succ 0$ 满足：

$$P-A_{cl}^{\top }P{A}_{cl}=Q$$

则系统是渐近稳定的。

2.2 Lyapunov 函数

定义候选 Lyapunov 函数：

$$V(x)=x^{\top }Px$$

其沿轨迹的变化为：

$$\begin{array}{rl}\Delta V& =V(x(k+1))-V(x(k))\\ & =x(k+1{)}^{\top }Px(k+1)-x(k{)}^{\top }Px(k)\\ & =x(k{)}^{\top }(A_{cl}^{\top }P{A}_{cl}-P)x(k)\\ & =-x(k{)}^{\top }Qx(k)\end{array}$$

2.3 稳定性条件

条件	结论
$P\succ 0,Q\succ 0$	渐近稳定
$\Delta V<0$	$V(x)$ 单调递减
$V(x)\to 0$	$x(k)\to 0$

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三、LQR 最优值函数作为 Lyapunov 函数

3.1 关键观察

LQR 的最优值函数 $V^{\ast }(x)=x^{\top }Px$（其中 $P$ 是 DARE 的解）天然是一个 Lyapunov 函数。

3.2 DARE 的 Lyapunov 形式

回顾 DARE 方程：

$$P=A^{\top }PA-A^{\top }PB(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA+Q$$

将 $K=(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA$ 代入：

$$P=A^{\top }PA-A^{\top }PBK+Q$$ $$P=(A-BK{)}^{\top }P(A-BK)+K^{\top }RK+Q$$

整理得：

$$\boxed{P-(A-BK{)}^{\top }P(A-BK)=Q+K^{\top }RK}$$

3.3 右边矩阵的正定性

由于 $Q⪰0$，$R\succ 0$，$K^{\top }RK⪰0$：

$$Q+K^{\top }RK⪰Q⪰0$$

若 $(A,Q^{1/2})$ 可检测，则 $Q+K^{\top }RK\succ 0$。

3.4 稳定性结论

根据 Lyapunov 稳定性定理：

• $P\succ 0$（DARE 解的正定性）
• $Q+K^{\top }RK\succ 0$（权重矩阵的正定性）
• 满足离散 Lyapunov 方程

结论：LQR 最优闭环系统 $x(k+1)=(A-BK)x(k)$ 是渐近稳定的。

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四、最优值函数的下降性

4.1 沿最优轨迹的变化

沿最优轨迹 $x^{\ast }(k)$，最优值函数的变化：

$$\begin{array}{rl}{V}^{\ast }(x^{\ast }(k+1))-V^{\ast }(x^{\ast }(k))& =x^{\ast }(k+1{)}^{\top }P{x}^{\ast }(k+1)-x^{\ast }(k{)}^{\top }P{x}^{\ast }(k)\\ & =-x^{\ast }(k{)}^{\top }(Q+K^{\top }RK)x^{\ast }(k)\\ & =-\left(x^{\ast }(k{)}^{\top }Q{x}^{\ast }(k)+u^{\ast }(k{)}^{\top }R{u}^{\ast }(k)\right)\\ & <0(\text{当 }{x}^{\ast }(k)\ne 0)\end{array}$$

4.2 物理意义

Important

最优值函数的减少量等于当前步的代价：

$$V^{\ast }(x(k))-V^{\ast }(x(k+1))=x(k{)}^{\top }Qx(k)+u(k{)}^{\top }Ru(k)$$

这体现了动态规划的最优性原理：最优策略下，“剩余代价”的减少等于”已付代价”。

4.3 累积代价

从 $k=0$ 到无穷：

$$\begin{array}{rl}{J}^{\ast }& =\sum _{k=0}^{\infty }\left(x^{\ast }(k{)}^{\top }Q{x}^{\ast }(k)+u^{\ast }(k{)}^{\top }R{u}^{\ast }(k)\right)\\ & =V^{\ast }(x(0))-\underset{k\to \infty }{\lim }{V}^{\ast }(x(k))\\ & =V^{\ast }(x(0))=x(0{)}^{\top }Px(0)\end{array}$$

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五、特征值分析

5.1 闭环极点位置

LQR 闭环系统的特征值（极点）满足：

$$|{\lambda }_i(A-BK)|<1$$

5.2 权重对极点的影响

权重变化	极点移动趋势
$Q\uparrow$	极点向原点移动（更快响应）
$R\uparrow$	极点向单位圆移动（更慢响应）
$Q/R\to \infty$	极点趋于 0（最快响应）
$Q/R\to 0$	极点趋于开环稳定极点

5.3 稳定裕度

LQR 具有良好的稳定裕度：

• 增益裕度：至少 $(-6\text{dB},+\infty )$
• 相位裕度：至少 $60^{\circ }$

LQR 的鲁棒性

这是 LQR（以及无约束 MPC）的重要优点之一。

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六、示例：二阶系统

6.1 系统模型

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 0.9\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right]$$ $$Q=I,R=0.1$$

6.2 开环极点

$${\lambda }_{1,2}(A)=1,0.9$$

系统不稳定（有一个极点在单位圆上）。

6.3 DARE 求解

数值求解 DARE 得：

$$P\approx \left[\begin{array}{cc}4.16& 0.72\\ 0.72& 1.54\end{array}\right]$$

6.4 反馈增益

$$K=(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA\approx \left[\begin{array}{cc}0.48& 0.89\end{array}\right]$$

6.5 闭环极点

$${\lambda }_{1,2}(A-BK)\approx 0.55,0.81$$

都在单位圆内，系统稳定。

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七、总结

概念	公式/结论
闭环系统	$x(k+1)=(A-BK)x(k)$
Lyapunov 方程	$P-A_{cl}^{\top }P{A}_{cl}=Q+K^{\top }RK$
最优值函数	$V^{\ast }(x)=x^{\top }Px$ 是 Lyapunov 函数
下降性	$V^{\ast }(x(k+1))-V^{\ast }(x(k))=-x^{\top }(Q+K^{\top }RK)x$
稳定裕度	增益裕度 $\ge 6\text{dB}$，相位裕度 $\ge 60^{\circ }$

相关内容

• DARE 求解见 02-离散代数 Riccati 方程 DARE 求解
• MPC 稳定性证明见 02-Lyapunov 函数下降性推导

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本