离散代数 Riccati 方程 (DARE) 求解

一、DARE 方程的推导

1.1 最优值函数假设

假设最优值函数（值函数）具有二次形式：

$$V^{\ast }(x)=x^{\top }Px$$

其中 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是待定的对称正定矩阵。

1.2 Bellman 方程

根据动态规划原理，最优值函数满足 Bellman 方程：

$$V^{\ast }(x(k))=\underset{u(k)}{\min }\left\{x(k{)}^{\top }Qx(k)+u(k{)}^{\top }Ru(k)+V^{\ast }(x(k+1))\right\}$$

代入 $V^{\ast }(x)=x^{\top }Px$ 和 $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$：

$$x(k{)}^{\top }Px(k)=\underset{u(k)}{\min }\left\{x(k{)}^{\top }Qx(k)+u(k{)}^{\top }Ru(k)+(Ax(k)+Bu(k){)}^{\top }P(Ax(k)+Bu(k))\right\}$$

1.3 最优性条件

对 $u(k)$ 求导并令导数为零：

$$\frac{\partial }{\partial u(k)}\left\{u(k{)}^{\top }Ru(k)+(Ax(k)+Bu(k){)}^{\top }P(Ax(k)+Bu(k))\right\}=0$$ $$2Ru(k)+2B^{\top }P(Ax(k)+Bu(k))=0$$

解得最优控制：

$$u^{\ast }(k)=-(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PAx(k)=-Kx(k)$$

1.4 反馈增益矩阵

$$\boxed{K=(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA}$$

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二、DARE 方程

2.1 标准形式

将最优控制代入 Bellman 方程，整理后得到离散代数 Riccati 方程 (Discrete Algebraic Riccati Equation, DARE)：

$$\boxed{P=A^{\top }PA-A^{\top }PB(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA+Q}$$

2.2 等价形式

使用矩阵逆引理，DARE 可写为：

$$P=A^{\top }PA-A^{\top }PB(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA+Q$$ $$=A^{\top }\left(P-PB(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }P\right)A+Q$$ $$=A^{\top }{\left(P^{-1}+B{R}^{-1}{B}^{\top }\right)}^{-1}A+Q$$

2.3 闭环 Lyapunov 方程

将 DARE 重写为闭环 Lyapunov 方程形式：

$$P-(A-BK{)}^{\top }P(A-BK)=Q+K^{\top }RK$$

其中 $Q+K^{\top }RK\succ 0$。

物理意义

这表明最优值函数 $V(x)=x^{\top }Px$ 是闭环系统的 Lyapunov 函数。

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三、DARE 的求解方法

3.1 不动点迭代法

最直接的方法是不动点迭代：

算法：

1. 初始化 $P_0=Q$（或任意正定矩阵）
2. 迭代更新： $$P_{k+1}=A^{\top }{P}_{k}A-A^{\top }{P}_{k}B(R+B^{\top }{P}_{k}B{)}^{-1}{B}^{\top }{P}_{k}A+Q$$
3. 当 $\Vert P_{k+1}-P_k\Vert <ϵ$ 时收敛

收敛条件

若 $(A,B)$ 能稳且 $(A,Q^{1/2})$ 可检测，则迭代收敛到唯一半正定解。

3.2 特征值方法

DARE 的解与辛矩阵 (Symplectic Matrix) 的特征值相关：

$$\mathcal{H}=\left[\begin{array}{cc}A+B{R}^{-1}{B}^{\top }{A}^{-\top }Q& -B{R}^{-1}{B}^{\top }{A}^{-\top }\\ -A^{-\top }Q& A^{-\top }\end{array}\right]$$

通过计算 $\mathcal{H}$ 的稳定不变子空间可得 $P$。

3.3 Schur 方法

更数值稳定的方法：

1. 构造增广矩阵
2. 计算 Schur 分解
3. 从稳定子空间提取 $P$

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四、DARE 解的性质

4.1 存在唯一性

定理：若 $(A,B)$ 能稳且 $(A,Q^{1/2})$ 可检测，则 DARE 存在唯一半正定对称解 $P⪰0$。

4.2 正定性

若 $(A,Q^{1/2})$ 可观测（强于可检测），则 $P\succ 0$（正定）。

4.3 单调性

迭代序列 $\{P_k\}$ 单调非减：

$$P_0⪯P_1⪯P_2⪯\cdots ⪯P$$

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五、示例：一阶系统 DARE 求解

5.1 系统参数

$$A=0.8,B=0.2,Q=1,R=1$$

5.2 DARE 方程

标量 DARE：

$$p=0.8^{2}p-\frac{(0.8\cdot p\cdot 0.2{)}^2}{1+0.2^{2}p}+1$$

5.3 解析解

化简得二次方程：

$$0.04p^2+0.28p-1=0$$

解得：

$$p=\frac{-0.28+\sqrt{0.28^2+4\cdot 0.04\cdot 1}}{2\cdot 0.04}\approx 2.09$$

5.4 反馈增益

$$K=\frac{0.8\cdot 2.09\cdot 0.2}{1+0.04\cdot 2.09}\approx 0.618$$

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六、数值计算注意事项

6.1 条件数

DARE 的条件数与以下因素相关：

• $A$ 的特征值接近单位圆 → 条件数大
• $R$ 过小 → 数值病态
• $Q$ 过小 → 解接近奇异

6.2 推荐算法

场景	推荐方法
小型系统 ($n<10$)	不动点迭代
中型系统 ($10\le n\le 100$)	Schur 方法
大型系统 ($n>100$)	迭代 + 低秩近似

6.3 软件工具

工具	函数
MATLAB	dare(A, B, Q, R)
Python (SciPy)	scipy.linalg.solve_discrete_are(A, B, Q, R)
Python (Control)	control.dare(A, B, Q, R)

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七、总结

概念	公式
DARE 方程	$P=A^{\top }PA-A^{\top }PB(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA+Q$
反馈增益	$K=(R+B^{\top }PB{)}^{-1}{B}^{\top }PA$
最优控制律	$u^{\ast }(k)=-Kx(k)$
最优值函数	$V^{\ast }(x)=x^{\top }Px$
存在条件	$(A,B)$ 能稳，$(A,Q^{1/2})$ 可检测

相关内容

• DARE 与稳定性见 03-闭环稳定性与 Lyapunov 方程关联
• 有限时域 Riccati 差分方程见 02-动态规划与逆向递推求解

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本