状态预测轨迹的递推表达

一、状态预测问题

1.1 问题描述

在 MPC 中，需要基于当前状态 $x(k)$ 和未来控制序列 $U_k$ 预测未来状态轨迹：

$$x_{0|k},x_{1|k},x_{2|k},\dots ,x_{N|k}$$

1.2 系统模型

离散时间 LTI 系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$$

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二、递推公式推导

2.1 一步预测

$$x_{1|k}=A{x}_{0|k}+B{u}_{0|k}$$

其中 $x_{0|k}=x(k)$ 是当前测量状态。

2.2 两步预测

$$\begin{array}{rl}{x}_{2|k}& =A{x}_{1|k}+B{u}_{1|k}\\ & =A(A{x}_{0|k}+B{u}_{0|k})+B{u}_{1|k}\\ & =A^2{x}_{0|k}+AB{u}_{0|k}+B{u}_{1|k}\end{array}$$

2.3 三步预测

$$\begin{array}{rl}{x}_{3|k}& =A{x}_{2|k}+B{u}_{2|k}\\ & =A(A^2{x}_{0|k}+AB{u}_{0|k}+B{u}_{1|k})+B{u}_{2|k}\\ & =A^3{x}_{0|k}+A^{2}B{u}_{0|k}+AB{u}_{1|k}+B{u}_{2|k}\end{array}$$

2.4 一般公式

第 $i$ 步预测状态的显式表达：

$$\boxed{x_{i|k}=A^{i}x(k)+\sum _{j=0}^{i-1}{A}^{i-1-j}B{u}_{j|k}}$$

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三、矩阵形式表达

3.1 预测轨迹向量

定义预测状态序列向量：

$${\mathbf{X}}_k=\left[\begin{array}{c}{x}_{0|k}\\ x_{1|k}\\ x_{2|k}\\ ⋮\\ x_{N|k}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{(N+1)n}$$

3.2 控制序列向量

定义控制输入序列向量：

$${\mathbf{U}}_k=\left[\begin{array}{c}{u}_{0|k}\\ u_{1|k}\\ ⋮\\ u_{N-1|k}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{Nm}$$

3.3 状态预测矩阵方程

预测轨迹可表示为：

$${\mathbf{X}}_k=\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$$

其中：

$$\mathcal{A}=\left[\begin{array}{c}I\\ A\\ A^2\\ ⋮\\ A^N\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{(N+1)n\times n}$$ $$\mathcal{B}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ B& 0& \cdots & 0\\ AB& B& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& \cdots & B\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{(N+1)n\times Nm}$$

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四、线性映射关系

4.1 控制序列到状态轨迹

预测状态轨迹是控制序列的线性函数：

$${\mathbf{X}}_k=\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$$

4.2 含义

• $\mathcal{A}x(k)$：自由响应（无控制输入时的自然演化）
• $\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$：强制响应（控制输入驱动的状态变化）

4.3 在 MPC 中的应用

这个线性映射关系是将 MPC 问题转化为标准 QP 形式的关键：

$$\underset{{\mathbf{U}}_k}{\min }\frac{1}{2}{\mathbf{U}}_k^{\top }H{\mathbf{U}}_k+f^{\top }{\mathbf{U}}_k$$

其中 Hessian 矩阵 $H$ 和线性项 $f$ 依赖于 $\mathcal{A},\mathcal{B},x(k)$。

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五、示例

5.1 二阶系统

考虑二阶系统 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，预测时域 $N=3$。

计算预测矩阵：

$$\mathcal{A}=\left[\begin{array}{c}I\\ A\\ A^2\\ A^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$ $$\mathcal{B}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ B& 0& 0\\ AB& B& 0\\ A^{2}B& AB& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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六、数值计算注意事项

6.1 矩阵幂的计算

计算 $A^i$ 时：

• 小 $i$：直接矩阵乘法
• 大 $i$：使用特征值分解 $A^i=V{\Lambda }^i{V}^{-1}$

6.2 数值稳定性

当 $A$ 的特征值接近或超过单位圆时：

• $A^i$ 可能数值爆炸
• 建议使用递推计算而非显式矩阵幂

6.3 稀疏性利用

$\mathcal{B}$ 矩阵是下三角分块结构：

• 可利用稀疏性加速计算
• 对于大型系统尤为重要

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七、总结

概念	公式
一步预测	$x_{1
i 步预测	$x_{i
矩阵形式	${\mathbf{X}}_k=\mathcal{A}x(k)+\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$
自由响应	$\mathcal{A}x(k)$
强制响应	$\mathcal{B}{\mathbf{U}}_k$

相关内容

• QP 问题建模见 01-二次规划 QP 问题建模
• 预测时域定义见 01-预测时域 N 与控制时域 Nu

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本