阶跃与脉冲转向输入的时域响应解析

一、二阶系统的时域响应理论

1.1 标准二阶系统的响应形式

车辆横摆动力学可近似为二阶系统：

$$\ddot{r}+2\zeta {\omega }_n\dot{r}+{\omega }_n^{2}r={\omega }_n^2{K}_{\text{sys}}\delta$$

其中：

• ${\omega }_n$：无阻尼自然频率
• $\zeta$：阻尼比
• $K_{\text{sys}}$：系统增益

1.2 阻尼分类

阻尼类型	$\zeta$ 范围	响应特性
过阻尼	$\zeta >1$	单调上升，无超调
临界阻尼	$\zeta =1$	最快无超调响应
欠阻尼	$0<\zeta <1$	衰减振荡
无阻尼	$\zeta =0$	等幅振荡
负阻尼	$\zeta <0$	发散振荡

1.3 特征值与响应模态

特征方程：

$$s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$$

特征根：

$$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$

阻尼类型	特征根	时域响应
过阻尼	两负实根	$c_1{e}^{s_{1}t}+c_2{e}^{s_{2}t}$
临界阻尼	重实根	$(c_1+c_{2}t)e^{-{\omega }_{n}t}$
欠阻尼	共轭复根	$e^{-\zeta {\omega }_{n}t}(c_1\cos {\omega }_{d}t+c_2\sin {\omega }_{d}t)$

其中阻尼振荡频率：

$${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$

---

二、阶跃转向输入的时域响应

2.1 阶跃输入的定义

转向角阶跃输入：

$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ {\delta }_0,& t\ge 0\end{array}$$

物理意义：方向盘突然转动一个固定角度并保持。

2.2 拉普拉斯域求解

对状态方程取拉普拉斯变换：

$$(s\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{X}(s)=\mathbf{B}\frac{{\delta }_0}{s}$$

解得：

$$\mathbf{X}(s)=(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}\frac{{\delta }_0}{s}$$

2.3 横摆角速度响应

欠阻尼情况（$0<\zeta <1$）下的时域响应：

$$r(t)=r_{\text{ss}}\left[1-\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin \left({\omega }_{d}t+\varphi \right)\right]$$

其中：

• $r_{\text{ss}}=G_r{\delta }_0$ 为稳态值
• ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$ 为阻尼振荡频率
• $\varphi =\arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }\right)$ 为相位角

2.4 侧向加速度响应

侧向加速度的阶跃响应：

$$a_y(t)=v_{x}r(t)+{\dot{v}}_y(t)$$

初始时刻（$t=0^{+}$）：

$$a_y(0^{+})=\frac{C_{\alpha f}}{m}{\delta }_0$$

物理意义

初始侧向加速度仅由前轮侧偏力产生，与横摆运动无关。这是因为横摆角速度需要时间建立。

2.5 响应性能指标

指标	定义	计算公式
上升时间 $t_r$	从 10% 到 90% 稳态值	$\approx \frac{1.8}{{\omega }_n}$
峰值时间 $t_p$	第一次达到峰值	$\frac{\pi }{{\omega }_d}$
超调量 $M_p$	超出稳态值的百分比	$e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$
调节时间 $t_s$	进入±2% 误差带	$\approx \frac{4}{\zeta {\omega }_n}$

2.6 不同转向特性的响应

不足转向车辆（$K>0$）：

• 响应收敛，无稳态误差
• 阻尼比较大，超调小
• 调节时间较长

中性转向车辆（$K=0$）：

• 响应收敛，稳态增益与速度成正比
• 阻尼适中

过多转向车辆（$K<0$）：

• 接近临界车速时响应发散
• 阻尼比减小，振荡加剧

---

三、脉冲转向输入的时域响应

3.1 脉冲输入的定义

转向角脉冲输入：

$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}{\delta }_0,& 0\le t\le T\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

物理意义：快速转动方向盘并回正，模拟紧急避障工况。

3.2 脉冲响应的叠加原理

脉冲响应可视为两个阶跃响应的叠加：

$$r(t)=r_{\text{step}}(t)-r_{\text{step}}(t-T)$$

其中 $r_{\text{step}}(t)$ 为阶跃响应。

3.3 脉冲响应的三个阶段

阶段	时间范围	响应特性
第一阶段	$0\le t<T$	同阶跃响应上升段
第二阶段	$T\le t<t_{\text{peak}}$	转向回正后的自由响应
第三阶段	$t\ge t_{\text{settle}}$	衰减至零

3.4 最大横摆角速度

脉冲期间的最大横摆角速度近似为：

$$r_{\text{max}}\approx r_{\text{ss}}(1-e^{-\zeta {\omega }_{n}T})$$

当脉冲宽度 $T\ll 1/(\zeta {\omega }_n)$ 时：

$$r_{\text{max}}\approx r_{\text{ss}}\cdot \zeta {\omega }_{n}T$$

3.5 横摆角位移

脉冲输入引起的总横摆角位移：

$$\Delta \psi ={\int }_0^{\infty }r(t)dt=G_r{\delta }_{0}T$$

物理意义

总横摆角位移仅取决于脉冲面积（${\delta }_{0}T$），与系统动态特性无关。

---

四、正弦转向输入的频域响应

4.1 正弦输入的定义

$$\delta (t)={\delta }_0\sin (\omega t)$$

4.2 稳态响应形式

稳态横摆角速度：

$$r_{\text{ss}}(t)={\delta }_0|G_r(j\omega )|\sin (\omega t+\angle G_r(j\omega ))$$

其中 $G_r(j\omega )$ 为频率响应函数。

4.3 幅频特性

$$|G_r(j\omega )|=\frac{G_r(0)}{\sqrt{(1-(\omega /{\omega }_n{)}^2{)}^2+(2\zeta \omega /{\omega }_n{)}^2}}$$

频率范围	增益特性
$\omega \ll {\omega }_n$	$
$\omega ={\omega }_n$	共振峰（若 $\zeta <0.707$）
$\omega \gg {\omega }_n$	$

4.4 相频特性

$$\angle G_r(j\omega )=-\arctan \left(\frac{2\zeta \omega /{\omega }_n}{1-(\omega /{\omega }_n{)}^2}\right)$$

频率	相位滞后
$\omega =0$	$0^{\circ }$
$\omega ={\omega }_n$	$-90^{\circ }$
$\omega \to \infty$	$-180^{\circ }$

---

五、瞬态响应的物理机理

5.1 侧向速度的建立过程

转向输入后，侧向速度 $v_y$ 的建立分为两个阶段：

阶段 1（$t<0.1\mathrm{s}$）：

• 前轮侧偏力立即产生
• 车辆开始侧向加速
• 横摆角速度尚未显著建立

阶段 2（$t>0.1\mathrm{s}$）：

• 横摆运动开始耦合
• 后轮侧偏角增大
• 侧向力重新分配

5.2 横摆角速度的振荡机理

横摆振荡源于侧向平动与横摆转动的耦合：

graph LR
    A[转向输入] --> B[前轮侧偏力]
    B --> C[侧向加速度]
    C --> D[侧向速度增大]
    D --> E[后轮侧偏角变化]
    E --> F[后轮侧偏力]
    F --> G[横摆力矩]
    G --> H[横摆角速度]
    H --> I[前轮侧偏角修正]
    I --> B

5.3 阻尼的来源

横摆振荡的阻尼主要来自：

阻尼源	贡献比例	机理
轮胎侧偏阻尼	~60%	侧偏角变化引起的力滞后
横摆阻尼	~30%	$A_{22}$ 项的能耗散
侧向 - 横摆耦合	~10%	模态耦合耗能

---

六、数值示例

6.1 车辆参数

参数	符号	数值
整车质量	$m$	$1500\mathrm{kg}$
轴距	$L$	$2.7\mathrm{m}$
前轮侧偏刚度	$C_{\alpha f}$	$60000N/rad$
后轮侧偏刚度	$C_{\alpha r}$	$55000N/rad$
横摆转动惯量	$I_z$	$2500\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
车速	$v_x$	$80km/h$

6.2 系统动态参数

计算得：

• 自然频率：${\omega }_n\approx 4.2rad/s$
• 阻尼比：$\zeta \approx 0.65$
• 稳态增益：$G_r\approx 0.92rad/s/rad$

6.3 阶跃响应性能

对于 ${\delta }_0=2^{\circ }$ 的阶跃输入：

性能指标	数值
上升时间 $t_r$	$0.43\mathrm{s}$
峰值时间 $t_p$	$0.75\mathrm{s}$
超调量 $M_p$	$6.8\%$
调节时间 $t_s$	$1.5\mathrm{s}$

6.4 脉冲响应示例

对于 $T=0.5\mathrm{s}$、${\delta }_0=5^{\circ }$ 的脉冲输入：

• 最大横摆角速度：$r_{\text{max}}\approx 0.12rad/s$
• 总横摆角位移：$\Delta \psi \approx 4.5^{\circ }$
• 恢复时间：$t_{\text{settle}}\approx 2.0\mathrm{s}$

---

七、相关内容

• 02-特征车速与临界车速的理论计算与物理意义
• 02-状态空间矩阵构建与系统特征参数分析
• 02-频域传递函数构建与稳定性裕度分析