状态空间矩阵构建与系统特征参数分析

一、状态空间方程的标准形式

1.1 状态变量的选择

选择状态变量：

x = [v_{y} r] 或 x = [β r]

输入变量：

u = δ

1.2 状态方程的推导

由侧向力平衡方程：

m (\overset{v}{˙}_{y} + r v_{x}) = - (C_{α f} + C_{α r}) \frac{v _{y}}{v _{x}} - \frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{v _{x}} r + C_{α f} δ

整理得：

\overset{v}{˙}_{y} = - \frac{C _{α f} + C _{α r}}{m v _{x}} v_{y} - (\frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{m v _{x}} + v_{x}) r + \frac{C _{α f}}{m} δ

由横摆力矩平衡方程：

I_{z} \overset{r}{˙} = - (C_{α f} L_{f} - C_{α r} L_{r}) \frac{v _{y}}{v _{x}} - \frac{C _{α f} L _{f}^{2} + C _{α r} L _{r}^{2}}{v _{x}} r + C_{α f} L_{f} δ

整理得：

\overset{r}{˙} = - \frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{I _{z} v _{x}} v_{y} - \frac{C _{α f} L _{f}^{2} + C _{α r} L _{r}^{2}}{I _{z} v _{x}} r + \frac{C _{α f} L _{f}}{I _{z}} δ

1.3 状态空间矩阵形式

[\overset{v}{˙}_{y} \overset{r}{˙}] = [A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}] [v_{y} r] + [B_{1} B_{2}] δ

其中：

A_{11} A_{12} A_{21} A_{22} B_{1} B_{2} = - \frac{C _{α f} + C _{α r}}{m v _{x}} = - \frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{m v _{x}} - v_{x} = - \frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{I _{z} v _{x}} = - \frac{C _{α f} L _{f}^{2} + C _{α r} L _{r}^{2}}{I _{z} v _{x}} = \frac{C _{α f}}{m} = \frac{C _{α f} L _{f}}{I _{z}}

二、用侧偏角表示的状态空间

2.1 状态变换

使用 $β = v_{y} / v_{x}$ ，假设 $v_{x}$ 恒定：

\dot{β} = \frac{v ˙ _{y}}{v _{x}}

2.2 状态空间矩阵

[\dot{β} \overset{r}{˙}] = [A_{11}^{β} A_{21}^{β} A_{12}^{β} A_{22}^{β}] [β r] + [B_{1}^{β} B_{2}^{β}] δ

其中：

A_{11}^{β} A_{12}^{β} A_{21}^{β} A_{22}^{β} B_{1}^{β} B_{2}^{β} = - \frac{C _{α f} + C _{α r}}{m v _{x}} = - \frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{m v _{x}^{2}} - 1 = - \frac{C _{α f} L _{f} - C _{α r} L _{r}}{I _{z}} = - \frac{C _{α f} L _{f}^{2} + C _{α r} L _{r}^{2}}{I _{z} v _{x}} = \frac{C _{α f}}{m v _{x}} = \frac{C _{α f} L _{f}}{I _{z}}

三、系统特征参数

3.1 特征值

系统特征值由特征方程确定：

det (s I - A) = 0

展开：

s^{2} - (A_{11} + A_{22}) s + (A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}) = 0

3.2 标准二阶系统形式

特征方程可写为：

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

其中：

$ω_{n}$ ：无阻尼自然频率
$ζ$ ：阻尼比

3.3 自然频率

ω_{n}^{2} = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}

代入矩阵元素，经整理得：

ω_{n}^{2} = \frac{L ^{2} C _{α f} C _{α r}}{m I _{z} v _{x}^{2}} (1 + K v_{x}^{2})

其中 $K$ 为不足转向梯度。

3.4 阻尼比

2 ζ ω_{n} = - (A_{11} + A_{22})

ζ = \frac{m ( C _{α f} L _{f}^{2} + C _{α r} L _{r}^{2} ) + I _{z} ( C _{α f} + C _{α r} )}{2 m I _{z} L ^{2} C _{α f} C _{α r} ( 1 + K v _{x}^{2} )}

四、稳定性分析

4.1 稳定性判据

线性系统稳定的充要条件：

特征值实部均为负
等价于： $ω_{n}^{2} > 0$ 且 $ζ > 0$

4.2 不足转向与稳定性

转向特性	$K$ 符号	稳定性
不足转向	$K > 0$	✅ 对所有 $v_{x}$ 稳定
中性转向	$K = 0$	✅ 临界稳定
过多转向	$K < 0$	⚠️ $v_{x} < v_{crit}$ 时稳定

4.3 临界车速（过多转向）

过多转向车辆的临界车速：

v_{crit} = - \frac{1}{K}

当 $v_{x} > v_{crit}$ 时，系统不稳定（发散）。

五、频域响应

5.1 传递函数

横摆角速度对转向角的传递函数：

G_{r} (s) = \frac{R ( s )}{Δ ( s )} = \frac{B _{2} s + ( A _{12} B _{2} - A _{22} B _{1} )}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}

5.2 频率响应

令 $s = j ω$ ：

G_{r} (j ω) = \frac{B _{2} j ω + ( A _{12} B _{2} - A _{22} B _{1} )}{- ω ^{2} + 2 ζ ω _{n} j ω + ω _{n}^{2}}

5.3 幅频特性

频率	增益特性
$ω = 0$	稳态增益 $G_{r} (0) = \frac{v _{x}}{L ( 1 + K v _{x}^{2} )}$
$ω = ω_{n}$	共振峰（若 $ζ < 0.707$ ）
$ω ≫ ω_{n}$	$- 40 dB/dec$ 衰减

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