纵向加速度动力学方程的严格推导

一、牛顿第二定律的应用

1.1 惯性系中的质点动力学

在大地惯性坐标系中，质点动力学方程为：

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$$

对于一维纵向运动：

$$F_x=m{\dot{v}}_x$$

1.2 合力分解

纵向合力为各外力的代数和：

$$F_x=F_{\text{drive}}-F_{\text{aero}}-F_{\text{roll}}-F_{\text{grade}}$$

二、纵向动力学微分方程

2.1 一般形式

将各阻力项代入，得：

$$m{\dot{v}}_x=F_{\text{drive}}-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_x^2-f_{r}mg\cos \theta -mg\sin \theta$$

2.2 考虑旋转质量

引入旋转质量换算系数 $\lambda$：

$$\lambda m{\dot{v}}_x=F_{\text{drive}}-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_x^2-f_{r}mg\cos \theta -mg\sin \theta$$

2.3 平路简化

在平路（$\theta =0$）上：

$$\lambda m{\dot{v}}_x=F_{\text{drive}}-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_x^2-f_{r}mg$$

三、驱动力模型

3.1 发动机外特性

发动机转矩 - 转速特性可拟合为二次多项式：

$$T_e({\omega }_e)=a{\omega }_e^2+b{\omega }_e+c$$

其中 ${\omega }_e$ 为发动机转速，$a,b,c$ 为拟合参数。

3.2 轮端驱动力

通过传动系传递到轮端的驱动力：

$$F_{\text{drive}}=\frac{T_e\cdot i_g\cdot i_f\cdot {\eta }_t}{R_w}$$

其中：

• $i_g$：变速器速比
• $i_f$：主减速器速比
• ${\eta }_t$：传动效率
• $R_w$：轮胎有效半径

3.3 发动机转速与车速的关系

$${\omega }_e=\frac{i_g{i}_f{v}_x}{R_w}$$

3.4 驱动力的速度依赖性

将转速关系代入转矩公式：

$$F_{\text{drive}}(v_x)=\frac{i_g{i}_f{\eta }_t}{R_w}\left[a{\left(\frac{i_g{i}_f{v}_x}{R_w}\right)}^2+b\left(\frac{i_g{i}_f{v}_x}{R_w}\right)+c\right]$$

整理为：

$$F_{\text{drive}}(v_x)=A{v}_x^2+B{v}_x+C$$

其中 $A,B,C$ 为由发动机特性和传动参数决定的常数。

四、完整微分方程

4.1 方程的标准形式

将驱动力代入动力学方程：

$$\lambda m{\dot{v}}_x=(A{v}_x^2+B{v}_x+C)-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_x^2-f_{r}mg-mg\sin \theta$$

合并同类项：

$$\lambda m{\dot{v}}_x=\left(A-\frac{1}{2}\rho C_{d}A\right)v_x^2+B{v}_x+(C-f_{r}mg-mg\sin \theta )$$

4.2 简化记号

令：

$$\begin{array}{rl}{k}_2& =A-\frac{1}{2}\rho C_{d}A\\ k_1& =B\\ k_0& =C-f_{r}mg-mg\sin \theta \end{array}$$

则方程简化为：

$$\lambda m{\dot{v}}_x=k_2{v}_x^2+k_1{v}_x+k_0$$

4.3 一阶非线性微分方程

这是一阶非线性常微分方程，形式为：

$${\dot{v}}_x=\frac{1}{\lambda m}(k_2{v}_x^2+k_1{v}_x+k_0)$$

五、方程的物理分析

5.1 平衡点

平衡点满足 ${\dot{v}}_x=0$：

$$k_2{v}_x^2+k_1{v}_x+k_0=0$$

解得平衡速度（最高车速）：

$$v_{\max }=\frac{-k_1+\sqrt{k_1^2-4k_2{k}_0}}{2k_2}$$

5.2 稳定性

对平衡点进行线性化稳定性分析。令 $v_x=v_{\max }+\delta v$：

$$\lambda m\dot{\delta v}=(2k_2{v}_{\max }+k_1)\delta v$$

由于 $k_2<0$（空气阻力系数为负），且 $v_{\max }>0$，有：

$$2k_2{v}_{\max }+k_1<0$$

因此平衡点是渐近稳定的。

5.3 解的存在性与唯一性

由于方程右端关于 $v_x$ 连续且满足 Lipschitz 条件，根据 Picard-Lindelöf 定理，给定初始条件 $v_x(0)=v_0$，存在唯一解。

六、方程的无量纲化

6.1 无量纲变量

引入特征速度 $v^{\ast }$ 和特征时间 $t^{\ast }$：

$$\begin{array}{rl}{v}^{\ast }& =\sqrt{\frac{mg{f}_r}{\frac{1}{2}\rho C_{d}A}}\text{(终端速度)}\\ t^{\ast }& =\frac{\lambda m{v}^{\ast }}{mg}=\frac{\lambda v^{\ast }}{g}\end{array}$$

6.2 无量纲方程

令 $\bar{v}=v_x/v^{\ast }$，$\bar{t}=t/t^{\ast }$：

$$\frac{d\bar{v}}{d\bar{t}}={\bar{F}}_{\text{drive}}-{\bar{v}}^2-1$$

其中 ${\bar{F}}_{\text{drive}}=F_{\text{drive}}/(mg{f}_r)$ 为无量纲驱动力。

无量纲化的意义

• 减少参数数量
• 揭示问题的本质参数组合
• 便于不同车型之间的比较

七、相关内容

• 02-纵向外力平衡体系与阻力机理分析
• 02-典型工况下的解析解与运动学积分理论
• 01-动力源外特性映射与传动系效率理论