无限时域代价函数与收敛性

一、LQR 问题描述

1.1 线性二次型调节器 (LQR)

线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 是最优控制理论中的经典问题，其目标是找到最优控制律，使系统在满足动态约束的前提下最小化二次型代价函数。

1.2 系统模型

离散时间 LTI 系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$$

初始状态 $x(0)=x_0$ 给定。

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二、无限时域代价函数

2.1 代价函数定义

LQR 的代价函数定义为：

$$J(x_0,U)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(x(k{)}^{\top }Qx(k)+u(k{)}^{\top }Ru(k)\right)$$

其中：

• $Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$：状态权重矩阵，对称半正定 ($Q⪰0$)
• $R\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$：输入权重矩阵，对称正定 ($R\succ 0$)
• $x(k{)}^{\top }Qx(k)$：状态代价，惩罚状态偏离原点
• $u(k{)}^{\top }Ru(k)$：控制代价，惩罚控制能量消耗

2.2 权重矩阵的物理意义

权重	调大效果	调小效果
$Q$	状态更快收敛，但可能控制激进	状态收敛慢，控制更平滑
$R$	控制更保守，状态收敛慢	控制更激进，可能饱和

权重选择经验

常用方法：先设 $Q=C^{\top }C$, $R=I$，然后根据响应调整。

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三、收敛性条件

3.1 代价函数有界性

无限时域代价函数收敛的前提是：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }x(k)=0,\underset{k\to \infty }{\lim }u(k)=0$$

即状态和控制输入都必须趋于零。

3.2 能稳性条件

系统 $(A,B)$ 需要是能稳的 (stabilizable)：

• 所有不稳定模态必须是能控的
• 不能控的模态必须是稳定的

能稳性 vs 能控性

• 能控性：所有状态都能被驱动 → LQR 最优解存在
• 能稳性：不稳定模态能被驱动 → LQR 闭环稳定

3.3 可检测性条件

系统 $(A,Q^{1/2})$ 需要是可检测的 (detectable)：

• 保证代价函数能”观测”到所有不稳定模态
• 若 $Q\succ 0$（正定），则自动满足

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四、最优控制律形式

4.1 状态反馈结构

LQR 的最优控制律具有线性状态反馈形式：

$$u^{\ast }(k)=-Kx(k)$$

其中 $K\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 是最优反馈增益矩阵。

4.2 闭环系统

最优闭环系统动态：

$$x(k+1)=(A-BK)x(k)$$

最优闭环矩阵 $A_{cl}=A-BK$ 的所有特征值都在单位圆内。

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五、权重矩阵的选择

5.1 Bryson 法则

一种系统化的权重选择方法：

$$Q_{ii}=\frac{1}{x_{i,\max }^2},R_{jj}=\frac{1}{u_{j,\max }^2}$$

其中 $x_{i,\max }$ 和 $u_{j,\max }$ 是状态和输入的最大允许值。

5.2 对角权重

常用简化形式：

$$Q=\text{diag}(q_1,q_2,\dots ,q_n),R=\text{diag}(r_1,r_2,\dots ,r_m)$$

5.3 单参数调节

$$Q=C^{\top }C,R=\rho I$$

其中 $\rho >0$ 是唯一的调节参数。

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六、示例：一阶系统 LQR

6.1 系统模型

$$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k)$$

6.2 代价函数

$$J=\sum _{k=0}^{\infty }(x(k{)}^2+u(k{)}^2)$$

即 $Q=1$, $R=1$。

6.3 最优解

最优反馈增益 $K\approx 0.618$，最优闭环极点约为 $0.682$。

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七、与 MPC 的关系

后续内容

LQR 是理解无约束 MPC 的基础：

• 无约束 MPC 在无限时域下等价于 LQR
• LQR 的 Riccati 方程解是 MPC 终端权重的来源
• 见 03-无约束 MPC 与 LQR 的等价性

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八、总结

概念	公式/条件
代价函数	$J={\sum }_{k=0}^{\infty }(x^{\top }Qx+u^{\top }Ru)$
最优控制律	$u^{\ast }(k)=-Kx(k)$
能稳性	不稳定模态能控
可检测性	$(A,Q^{1/2})$ 可检测
权重选择	Bryson 法则、单参数调节

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本