极限侧滑工况下的相平面稳定性理论

一、相平面分析方法

1.1 相平面的定义

相平面（Phase Plane）是以状态变量为坐标轴的平面，用于分析二阶非线性系统的稳定性。

对于车辆平面动力学，常用的相平面有：

相平面	坐标轴	物理意义
$\beta -\dot{\beta }$	侧偏角 vs 侧偏角速度	侧向运动稳定性
$r-\dot{r}$	横摆角速度 vs 横摆角加速度	横摆运动稳定性
$\beta -r$	侧偏角 vs 横摆角速度	联合稳定性

1.2 相轨迹的绘制

相轨迹是状态变量随时间演化的曲线：

$$\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}\beta (t)\\ r(t)\end{array}\right]$$

相轨迹的切线方向由状态方程给出：

$$\frac{d\beta }{dr}=\frac{\dot{\beta }}{\dot{r}}=\frac{f_{\beta }(\beta ,r)}{f_r(\beta ,r)}$$

1.3 平衡点与稳定性

平衡点满足：

$$\dot{\beta }=0,\dot{r}=0$$

稳定性判据：

• 平衡点附近线性化
• 特征值实部均为负 → 稳定
• 至少一个特征值实部为正 → 不稳定

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二、β-r 相平面的构建

2.1 状态方程的简化形式

忽略车轮动力学，用 2 自由度模型：

$$\begin{array}{rl}\dot{\beta }& =f_{\beta }(\beta ,r,\delta )\\ \dot{r}& =f_r(\beta ,r,\delta )\end{array}$$

2.2 线性轮胎模型的相平面

线性区域内：

$$\begin{array}{rl}\dot{\beta }& =-\frac{C_{\alpha f}+C_{\alpha r}}{m{v}_x}\beta -\left(1+\frac{C_{\alpha f}{L}_f-C_{\alpha r}{L}_r}{m{v}_x^2}\right)r+\frac{C_{\alpha f}}{m{v}_x}\delta \\ \dot{r}& =-\frac{C_{\alpha f}{L}_f-C_{\alpha r}{L}_r}{I_z}\beta -\frac{C_{\alpha f}{L}_f^2+C_{\alpha r}{L}_r^2}{I_z{v}_x}r+\frac{C_{\alpha f}{L}_f}{I_z}\delta \end{array}$$

矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}\dot{\beta }\\ \dot{r}\end{array}\right]=\mathbf{A}\left[\begin{array}{c}\beta \\ r\end{array}\right]+\mathbf{B}\delta$$

2.3 非线性轮胎模型的相平面

引入非线性轮胎力后：

$$\begin{array}{rl}\dot{\beta }& =\frac{1}{m{v}_x}(F_{y,f}({\alpha }_f)+F_{y,r}({\alpha }_r))-r\\ \dot{r}& =\frac{1}{I_z}(L_f{F}_{y,f}({\alpha }_f)-L_r{F}_{y,r}({\alpha }_r))\end{array}$$

其中侧偏角：

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_f& =\delta -\beta -\frac{L_{f}r}{v_x}\\ {\alpha }_r& =-\beta +\frac{L_{r}r}{v_x}\end{array}$$

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三、平衡点的计算

3.1 稳态转向的平衡点

稳态时 $\dot{\beta }=\dot{r}=0$，解得：

$$\begin{array}{rl}{\beta }_{\text{ss}}& =\frac{L_r}{L}\delta -\frac{m{L}_f}{C_{\alpha r}L}{a}_y\\ r_{\text{ss}}& =\frac{v_x}{L(1+K{v}_x^2)}\delta \end{array}$$

3.2 平衡点的存在条件

平衡点存在的必要条件：

$$|{\alpha }_f|<{\alpha }_{\text{sat}},|{\alpha }_r|<{\alpha }_{\text{sat}}$$

其中 ${\alpha }_{\text{sat}}$ 是轮胎饱和侧偏角（典型值 $8^{\circ }\sim 12^{\circ }$）。

3.3 平衡点的稳定性分析

在平衡点附近线性化：

$$\mathbf{A}={\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial \dot{\beta }}{\partial \beta }& \frac{\partial \dot{\beta }}{\partial r}\\ \frac{\partial \dot{r}}{\partial \beta }& \frac{\partial \dot{r}}{\partial r}\end{array}\right]}_{\text{eq}}$$

特征方程：

$$s^2-\text{tr}(\mathbf{A})s+\det (\mathbf{A})=0$$

稳定性条件：

$$\text{tr}(\mathbf{A})<0,\det (\mathbf{A})>0$$

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四、相平面轨迹的定性分析

4.1 零倾线（Nullcline）

β零倾线：$\dot{\beta }=0$

$$F_{y,f}(\delta -\beta -\frac{L_{f}r}{v_x})+F_{y,r}(-\beta +\frac{L_{r}r}{v_x})=m{v}_{x}r$$

r 零倾线：$\dot{r}=0$

$$L_f{F}_{y,f}(\delta -\beta -\frac{L_{f}r}{v_x})-L_r{F}_{y,r}(-\beta +\frac{L_{r}r}{v_x})=0$$

4.2 零倾线的交点

零倾线的交点即为平衡点。

交点类型	稳定性	相轨迹特征
稳定焦点	稳定	螺旋收敛
稳定节点	稳定	单调收敛
鞍点	不稳定	双曲发散
不稳定焦点	不稳定	螺旋发散

4.3 极限环的存在条件

非线性系统可能存在极限环（Limit Cycle）——封闭的相轨迹。

极限环存在的必要条件（Poincaré-Bendixson 定理）：

1. 系统为二阶非线性
2. 存在有界不变集
3. 平衡点不稳定

物理意义

极限环对应车辆的漂移工况：侧偏角和横摆角速度周期性变化但轨迹有界。

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五、稳定性边界的确定

5.1 摩擦椭圆约束的稳定性边界

轮胎力受摩擦椭圆限制：

$$\sqrt{F_{y,f}^2+F_{x,f}^2}\le \mu F_{z,f},\sqrt{F_{y,r}^2+F_{x,r}^2}\le \mu F_{z,r}$$

纯转向工况（$F_x=0$）：

$$|F_{y,f}|\le \mu F_{z,f},|F_{y,r}|\le \mu F_{z,r}$$

5.2 最大侧向加速度

最大侧向加速度由前后轮同时饱和决定：

$$a_{y,\text{max}}=\mu g$$

但实际受稳定性约束，可用极限更低。

5.3 β-r 平面的稳定性区域

定义稳定性区域 $\mathcal{S}$：

$$\mathcal{S}=\{(\beta ,r):|{\alpha }_f|<{\alpha }_{\text{sat}},|{\alpha }_r|<{\alpha }_{\text{sat}},\mathbf{A}(\beta ,r)\text{稳定}\}$$

graph TD
    subgraph β-r 相平面
    A[原点] --> |平衡点 | B[稳定区域 S]
    B --> C{初始状态}
    C -->|在 S 内 | D[收敛到平衡点]
    C -->|在 S 外 | E[发散/极限环]
    F[稳定性边界] --> G[零倾线交点]
    end

5.4 稳定性边界解析近似

对于线性轮胎模型，稳定性边界：

$${\beta }_{\text{crit}}=\frac{\mu g}{v_x^2/L+K{a}_y}$$ $$r_{\text{crit}}=\frac{\mu g}{v_x}$$

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六、ESP 控制的相平面方法

6.1 稳定性控制目标

ESP（电子稳定程序）的目标：

$$\text{保持 }(\beta ,r)\in \mathcal{S}$$

6.2 相平面控制律

直接横摆力矩控制：

$$M_{z,\text{ESP}}=-K_{\beta }\beta -K_{r}r-K_{\dot{r}}(\dot{r}-{\dot{r}}_{\text{ref}})$$

其中参考横摆角速度：

$$r_{\text{ref}}=\frac{v_x}{L(1+K{v}_x^2)}\delta$$

6.3 相平面守卫（Phase Plane Guard）

定义守卫函数：

$$V(\beta ,r)=\frac{1}{2}{\beta }^2+\frac{1}{2}{r}^2$$

控制律设计使：

$$\dot{V}=\beta \dot{\beta }+r\dot{r}<0\text{当 }(\beta ,r)\notin \mathcal{S}$$

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七、数值示例

7.1 车辆参数

参数	符号	数值
整车质量	$m$	$1500\mathrm{kg}$
轴距	$L$	$2.7\mathrm{m}$
前轮侧偏刚度	$C_{\alpha f}$	$60000N/rad$
后轮侧偏刚度	$C_{\alpha r}$	$55000N/rad$
横摆转动惯量	$I_z$	$2500\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
摩擦系数	$\mu$	$0.9$
车速	$v_x$	$80km/h$

7.2 平衡点计算

对于 $\delta =5^{\circ }$：

$$\begin{array}{rl}{\beta }_{\text{ss}}& \approx 2.1^{\circ }\\ r_{\text{ss}}& \approx 0.43rad/s\end{array}$$

7.3 特征值分析

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{1,2}& =-2.8\pm 3.9j\\ \text{阻尼比 }\zeta & =0.58\\ \text{自然频率 }{\omega }_n& =4.8rad/s\end{array}$$

系统稳定。

7.4 稳定性边界

$$\begin{array}{rl}|\beta |& <8.5^{\circ }\\ |r|& <0.65rad/s\end{array}$$

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八、相关内容

• 02-纵横向联合激励下的动力学耦合机理
• 02-完整状态向量定义与多输入多输出方程构建
• 01-双轨至单轨模型的渐近降阶理论