完整状态向量定义与多输入多输出方程构建

一、状态空间方法回顾

1.1 状态变量的定义

状态变量是能够完全描述系统动态行为的最小变量集。

对于车辆平面动力学：

• 状态变量数 = 系统自由度数
• 状态变量必须是独立变量
• 状态变量的导数必须能表示为状态和输入的函数

1.2 状态空间的标准形式

非线性连续时间状态空间方程：

$$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)$$ $$\mathbf{y}(t)=\mathbf{h}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)$$

其中：

• $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$：状态向量
• $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^m$：输入向量
• $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^p$：输出向量
• $\mathbf{f}$：状态转移函数
• $\mathbf{h}$：输出函数

---

二、双轨模型的状态向量

2.1 最小状态向量

双轨模型的最小状态向量（7 个状态）：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ r\\ {\omega }_{fl}\\ {\omega }_{fr}\\ {\omega }_{rl}\\ {\omega }_{rr}\end{array}\right]$$

状态	含义	单位
$v_x$	质心纵向速度	$m/s$
$v_y$	质心侧向速度	$m/s$
$r$	横摆角速度	$rad/s$
${\omega }_i$	四轮角速度	$rad/s$

2.2 扩展状态向量（含位置坐标）

若需要跟踪全局位置，扩展状态向量：

$${\mathbf{x}}_{\text{ext}}=\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ \psi \\ v_x\\ v_y\\ r\\ {\omega }_{fl}\\ {\omega }_{fr}\\ {\omega }_{rl}\\ {\omega }_{rr}\end{array}\right]$$

运动学方程：

$$\begin{array}{rl}\dot{X}& =v_x\cos \psi -v_y\sin \psi \\ \dot{Y}& =v_x\sin \psi +v_y\cos \psi \\ \dot{\psi }& =r\end{array}$$

2.3 侧偏角形式状态向量

等价地用侧偏角代替侧向速度：

$${\mathbf{x}}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}\beta \\ r\\ {\omega }_{fl}\\ {\omega }_{fr}\\ {\omega }_{rl}\\ {\omega }_{rr}\end{array}\right],\beta =\arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$

小侧偏角近似下：

$$\dot{\beta }\approx \frac{{\dot{v}}_y{v}_x-v_y{\dot{v}}_x}{v_x^2}$$

---

三、输入向量的定义

3.1 基本输入向量

双轨模型的基本输入（4 个输入）：

$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}\delta \\ T_{\text{drive}}\\ T_{\text{brake},fl}\\ T_{\text{brake},fr}\\ T_{\text{brake},rl}\\ T_{\text{brake},rr}\end{array}\right]$$

输入	含义	单位
$\delta$	前轮转向角	$\mathrm{rad}$
$T_{\text{drive}}$	总驱动力矩	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$T_{\text{brake},i}$	四轮制动力矩	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

3.2 驱动力分配

驱动力矩根据驱动形式分配：

前驱（FWD）：

$$T_{\text{drive},fl}=T_{\text{drive},fr}=\frac{1}{2}{T}_{\text{drive}},T_{\text{drive},rl}=T_{\text{drive},rr}=0$$

后驱（RWD）：

$$T_{\text{drive},fl}=T_{\text{drive},fr}=0,T_{\text{drive},rl}=T_{\text{drive},rr}=\frac{1}{2}{T}_{\text{drive}}$$

全驱（AWD）：

$$T_{\text{drive},i}=k_i{T}_{\text{drive}},\sum k_i=1$$

3.3 扭矩矢量分配

高性能车辆可独立控制左右轮驱动力：

$${\mathbf{u}}_{\text{TV}}=\left[\begin{array}{c}\delta \\ T_{\text{drive},fl}\\ T_{\text{drive},fr}\\ T_{\text{drive},rl}\\ T_{\text{drive},rr}\\ T_{\text{brake},fl}\\ T_{\text{brake},fr}\\ T_{\text{brake},rl}\\ T_{\text{brake},rr}\end{array}\right]$$

共 9 个独立输入，系统成为过驱动系统（输入数 > 自由度）。

---

四、状态方程的严格推导

4.1 纵向速度方程

由牛顿第二定律：

$$m({\dot{v}}_x-r{v}_y)=\sum F_x$$

四轮纵向力投影：

$$\begin{array}{rl}\sum F_x=& \sum _{i=fl,fr}(F_{x,i}\cos {\delta }_i-F_{y,i}\sin {\delta }_i)\\ & +\sum _{i=rl,rr}{F}_{x,i}-F_{\text{drag}}-F_{\text{roll}}\end{array}$$

整理得：

$${\dot{v}}_x=r{v}_y+\frac{1}{m}\left[\sum _{i=fl,fr}(F_{x,i}\cos {\delta }_i-F_{y,i}\sin {\delta }_i)+\sum _{i=rl,rr}{F}_{x,i}-F_{\text{drag}}-F_{\text{roll}}\right]$$

4.2 侧向速度方程

$$m({\dot{v}}_y+r{v}_x)=\sum F_y$$ $$\begin{array}{rl}\sum F_y=& \sum _{i=fl,fr}(F_{x,i}\sin {\delta }_i+F_{y,i}\cos {\delta }_i)\\ & +\sum _{i=rl,rr}{F}_{y,i}\end{array}$$

整理得：

$${\dot{v}}_y=-r{v}_x+\frac{1}{m}\left[\sum _{i=fl,fr}(F_{x,i}\sin {\delta }_i+F_{y,i}\cos {\delta }_i)+\sum _{i=rl,rr}{F}_{y,i}\right]$$

4.3 横摆角速度方程

由欧拉方程：

$$I_z\dot{r}=\sum M_z$$

对各轮接地点取矩：

$$\begin{array}{rl}\sum M_z=& \sum _{i=fl,fr}\left[L_f(F_{x,i}\sin {\delta }_i+F_{y,i}\cos {\delta }_i)+(-1{)}^i\frac{t_f}{2}(F_{x,i}\cos {\delta }_i-F_{y,i}\sin {\delta }_i)\right]\\ & +\sum _{i=rl,rr}\left[-L_r{F}_{y,i}+(-1{)}^i\frac{t_r}{2}{F}_{x,i}\right]\end{array}$$

其中 $i=1$ 为左侧，$i=2$ 为右侧。

4.4 车轮角速度方程

每个车轮的转动动力学：

$$I_w{\dot{\omega }}_i=T_{\text{drive},i}-T_{\text{brake},i}-R_e{F}_{x,i}-T_{\text{roll},i}$$

忽略滚动阻力矩：

$${\dot{\omega }}_i=\frac{1}{I_w}(T_{\text{drive},i}-T_{\text{brake},i}-R_e{F}_{x,i})$$

---

五、轮胎力的计算

5.1 车轮滑移率

纵向滑移率定义：

$${\kappa }_i=\{\begin{array}{ll}\frac{{\omega }_i{R}_e-v_{x,i}}{v_{x,i}},& \text{驱动工况}\\ \frac{{\omega }_i{R}_e-v_{x,i}}{{\omega }_i{R}_e},& \text{制动工况}\end{array}$$

统一形式（Pacejka 定义）：

$${\kappa }_i=\frac{{\omega }_i{R}_e-v_{x,i}}{|v_{x,i}|}$$

5.2 车轮侧偏角

考虑转向和车身运动：

$${\alpha }_i={\delta }_i-\arctan \left(\frac{v_{y,i}}{v_{x,i}}\right)$$

车轮中心速度：

$$\begin{array}{rlrl}{v}_{x,fl}& =v_x-r\frac{t_f}{2},& v_{y,fl}& =v_y+r{L}_f\\ v_{x,fr}& =v_x+r\frac{t_f}{2},& v_{y,fr}& =v_y+r{L}_f\\ v_{x,rl}& =v_x-r\frac{t_r}{2},& v_{y,rl}& =v_y-r{L}_r\\ v_{x,rr}& =v_x+r\frac{t_r}{2},& v_{y,rr}& =v_y-r{L}_r\end{array}$$

5.3 垂直载荷的实时计算

考虑载荷转移：

$$\begin{array}{rl}{F}_{z,fl}& =\frac{L_r}{2L}mg+\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x+{\eta }_f\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_f}\\ F_{z,fr}& =\frac{L_r}{2L}mg+\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x-{\eta }_f\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_f}\\ F_{z,rl}& =\frac{L_f}{2L}mg-\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x+{\eta }_r\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_r}\\ F_{z,rr}& =\frac{L_f}{2L}mg-\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x-{\eta }_r\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_r}\end{array}$$

5.4 非线性轮胎力计算

使用魔术公式或 Dugoff 模型：

魔术公式：

$$\begin{array}{rl}{F}_{x,i}& =D_x\sin \left[C_x\arctan \left(B_x{\kappa }_i-E_x(B_x{\kappa }_i-\arctan (B_x{\kappa }_i))\right)\right]\\ F_{y,i}& =D_y\sin \left[C_y\arctan \left(B_y{\alpha }_i-E_y(B_y{\alpha }_i-\arctan (B_y{\alpha }_i))\right)\right]\end{array}$$

摩擦椭圆修正：

$$\begin{array}{rl}{F}_{x,i}^{\text{eff}}& =F_{x,i}\cdot \frac{{\mu }_{\text{eff}}}{\mu }\\ F_{y,i}^{\text{eff}}& =F_{y,i}\cdot \frac{{\mu }_{\text{eff}}}{\mu }\\ {\mu }_{\text{eff}}& =\mu \sqrt{1-{\left(\frac{F_{x,i}}{\mu F_{z,i}}\right)}^2-{\left(\frac{F_{y,i}}{\mu F_{z,i}}\right)}^2}\end{array}$$

---

六、输出方程

6.1 可观测量选择

典型输出向量（8 个输出）：

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ r\\ v_x\\ \beta \\ {\omega }_{fl}\\ {\omega }_{fr}\\ {\omega }_{rl}\\ {\omega }_{rr}\end{array}\right]$$

6.2 加速度输出

$$\begin{array}{rl}{a}_x& ={\dot{v}}_x-r{v}_y\\ a_y& ={\dot{v}}_y+r{v}_x\end{array}$$

6.3 侧偏角输出

$$\beta =\arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$

6.4 轮胎力输出（用于控制器设计）

$${\mathbf{y}}_{\text{force}}={\left[\begin{array}{cccccccc}{F}_{x,fl}& F_{x,fr}& F_{x,rl}& F_{x,rr}& F_{y,fl}& F_{y,fr}& F_{y,rl}& F_{y,rr}\end{array}\right]}^{\top }$$

---

七、MIMO 系统的矩阵表示

7.1 线性化状态空间

在工作点 $({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{u}}_0)$ 附近线性化：

$$\Delta \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\Delta \mathbf{x}+\mathbf{B}\Delta \mathbf{u}$$ $$\Delta \mathbf{y}=\mathbf{C}\Delta \mathbf{x}+\mathbf{D}\Delta \mathbf{u}$$

其中：

$$\mathbf{A}={\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}|}_0,\mathbf{B}={\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}}|}_0,\mathbf{C}={\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}}|}_0,\mathbf{D}={\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{u}}|}_0$$

7.2 系统矩阵维度

矩阵	维度	说明
$\mathbf{A}$	$7\times 7$	系统矩阵
$\mathbf{B}$	$7\times 6$	输入矩阵
$\mathbf{C}$	$9\times 7$	输出矩阵
$\mathbf{D}$	$9\times 6$	直通矩阵

7.3 多变量耦合特性

双轨 MIMO 系统的耦合特性：

输入	主要影响	耦合输出
$\delta$	$r,a_y$	$v_x$（间接）
$T_{\text{drive}}$	$v_x$	$r$（如有差动）
$T_{\text{brake},i}$	${\omega }_i,v_x$	$r$（如有差动制动）

---

八、数值示例

8.1 线性化示例

在直线行驶工作点（$v_x=30m/s,\delta =0$）线性化：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}-0.02& 0& 0& \cdots \\ 0& -2.5& -30& \cdots \\ 0& 15.2& -3.8& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

8.2 特征值分析

系统特征值：

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{1,2}& =-2.1\pm 4.5j\text{（横摆模态）}\\ {\lambda }_{3,4}& =-0.015\text{（纵向模态）}\\ {\lambda }_{5\sim 7}& =-8.2,-7.9,-8.5\text{（车轮模态）}\end{array}$$

8.3 传递函数矩阵

输入 $\delta$ 到输出 $r$ 的传递函数：

$$G_{r\delta }(s)=\frac{1.2s+3.6}{s^2+4.2s+22.5}$$

---

九、相关内容

• 01-轮胎非线性特性与摩擦椭圆约束的全面引入
• 01-极限侧滑工况下的相平面稳定性理论
• 02-纵横向联合激励下的动力学耦合机理