绝对运动与相对运动的速度合成理论

一、相对运动的基本问题

1.1 多参考系下的运动描述

车辆动力学涉及多个参考系：

• 大地坐标系（惯性系）：描述绝对运动
• 车身坐标系（非惯性系）：描述相对运动
• 轮胎坐标系（局部系）：描述轮胎局部运动

核心问题：如何在不同参考系之间转换速度和加速度？

1.2 绝对运动与相对运动的定义

概念	定义	参考系
绝对运动	相对于惯性系的运动	大地坐标系
相对运动	相对于非惯性系的运动	车身/轮胎坐标系
牵连运动	动参考系本身的运动	-

二、速度合成定理

2.1 一般形式的速度合成

考虑动点 $P$ 在动系 $\{\mathbf{b}\}$ 中运动，动系相对静系 $\{\mathbf{e}\}$ 运动：

$${\mathbf{v}}_P^{\text{abs}}={\mathbf{v}}_P^{\text{rel}}+{\mathbf{v}}_P^{\text{trans}}$$

其中：

• ${\mathbf{v}}_P^{\text{abs}}$：绝对速度（大地系观测）
• ${\mathbf{v}}_P^{\text{rel}}$：相对速度（车身系观测）
• ${\mathbf{v}}_P^{\text{trans}}$：牵连速度

2.2 旋转坐标系中的速度合成

对于平面旋转运动，牵连速度包含两部分：

$${\mathbf{v}}_P^{\text{trans}}={\mathbf{v}}_O+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_{OP}$$

其中：

• ${\mathbf{v}}_O$：动系原点的平动速度
• $\mathbf{\omega }$：动系的角速度矢量
• ${\mathbf{r}}_{OP}$：从动系原点到点 $P$ 的位置矢量

2.3 平面运动的简化

在平面运动中，$\mathbf{\omega }=r\cdot \vec{k}$（垂直于平面），速度合成公式简化为：

$${\mathbf{v}}_P^{\text{abs}}={\mathbf{v}}_O+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_{OP}+{\mathbf{v}}_P^{\text{rel}}$$

写成分量形式（车身坐标系）：

$$\left[\begin{array}{c}{v}_x^{\text{abs}}\\ v_y^{\text{abs}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_{Ox}\\ v_{Oy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-r\cdot y_{OP}\\ r\cdot x_{OP}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{Px}^{\text{rel}}\\ v_{Py}^{\text{rel}}\end{array}\right]$$

三、加速度合成定理

3.1 一般形式的加速度合成

$${\mathbf{a}}_P^{\text{abs}}={\mathbf{a}}_P^{\text{rel}}+{\mathbf{a}}_P^{\text{trans}}+{\mathbf{a}}_P^{\text{coriolis}}$$

其中包含三项：

• 相对加速度 ${\mathbf{a}}_P^{\text{rel}}$
• 牵连加速度 ${\mathbf{a}}_P^{\text{trans}}$
• 科里奥利加速度 ${\mathbf{a}}_P^{\text{coriolis}}$

3.2 旋转坐标系中的加速度展开

对于匀角速度旋转的动系（$\dot{\mathbf{\omega }}=0$）：

$${\mathbf{a}}_P^{\text{abs}}=\underset{\text{原点加速度}}{\underbrace{{\mathbf{a}}_O}}+\underset{\text{向心加速度}}{\underbrace{\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_{OP})}}+\underset{\text{科里奥利加速度}}{\underbrace{2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}_P^{\text{rel}}}}+\underset{\text{相对加速度}}{\underbrace{{\mathbf{a}}_P^{\text{rel}}}}$$

3.3 平面运动的加速度合成

在平面运动中，角速度 $\mathbf{\omega }=r\vec{k}$，加速度公式简化为：

$${\mathbf{a}}_P^{\text{abs}}={\mathbf{a}}_O+\left[\begin{array}{c}-r^2{x}_{OP}\\ -r^2{y}_{OP}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2r{v}_{Py}^{\text{rel}}\\ 2r{v}_{Px}^{\text{rel}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{a}_{Px}^{\text{rel}}\\ a_{Py}^{\text{rel}}\end{array}\right]$$

各项物理意义：

项	物理意义	产生原因
${\mathbf{a}}_O$	原点加速度	车身平动
$-r^2{\mathbf{r}}_{OP}$	向心加速度	车身旋转
$2r\times {\mathbf{v}}_P^{\text{rel}}$	科里奥利加速度	相对运动与旋转耦合
${\mathbf{a}}_P^{\text{rel}}$	相对加速度	点 $P$ 在车身系中的加速度

四、车辆质心运动的加速度

4.1 质心在车身系中的速度

车辆质心在车身坐标系中的速度为：

$${\mathbf{v}}_{\text{CG}}^{\text{body}}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]$$

4.2 质心加速度的推导

由于质心是车身系的原点，${\mathbf{r}}_{\text{CG}}=0$，因此：

• 向心加速度项：$\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times 0)=0$
• 科里奥利加速度项：$2\mathbf{\omega }\times 0=0$

质心加速度在车身系中的表达为：

$${\mathbf{a}}_{\text{CG}}=\left[\begin{array}{c}{\dot{v}}_x-r{v}_y\\ {\dot{v}}_y+r{v}_x\end{array}\right]$$

交叉项的物理意义

• $-r{v}_y$：纵向加速度的科里奥利修正
• $+r{v}_x$：侧向加速度的科里奥利修正

这两项源于车身坐标系的旋转，是平面动力学方程的核心耦合项。

五、轮胎接地点的速度合成

5.1 轮胎接地点的位置

前轮接地点在车身系中的位置：

$${\mathbf{r}}_{\text{front}}=\left[\begin{array}{c}{L}_f\\ t_f/2\end{array}\right]$$

5.2 接地点速度

接地点的绝对速度（大地系观测，在车身系中表达）：

$${\mathbf{v}}_{\text{front}}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-r\cdot (t_f/2)\\ r\cdot L_f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_x-\frac{t_f}{2}r\\ v_y+L_{f}r\end{array}\right]$$

5.3 轮胎坐标系中的速度

转换到轮胎坐标系（考虑转向角 $\delta$）：

$$\left[\begin{array}{c}{v}_{wx}\\ v_{wy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \delta & \sin \delta \\ -\sin \delta & \cos \delta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_x-\frac{t_f}{2}r\\ v_y+L_{f}r\end{array}\right]$$

侧偏角的计算

轮胎侧偏角可通过接地点速度计算：

$$\alpha =-\arctan \left(\frac{v_{wy}}{v_{wx}}\right)$$

六、运输定理（Transport Theorem）

6.1 矢量导数的参考系变换

运输定理描述了矢量导数在不同参考系中的关系：

$${\frac{d\mathbf{A}}{dt}|}_{\text{inertial}}={\frac{d\mathbf{A}}{dt}|}_{\text{body}}+\mathbf{\omega }\times \mathbf{A}$$

其中：

• 左侧：惯性系中观测的导数
• 右侧第一项：动系中观测的导数
• 右侧第二项：旋转引起的附加项

6.2 平面运动的简化

在平面运动中：

$$\frac{d}{dt}{\left[\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\end{array}\right]}_{\text{earth}}=\frac{d}{dt}{\left[\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\end{array}\right]}_{\text{body}}+\left[\begin{array}{c}-r{A}_y\\ r{A}_x\end{array}\right]$$

七、相关内容

• 01-平面旋转矩阵与方向余弦的数学构建
• 02-车身姿态角与平面运动状态变量的对应关系
• 01-二自由度平面动力学建模理论