无限时域与有限时域稳定性对比

一、问题背景

1.1 两种最优控制问题

无限时域 LQR：

$$J_{\infty }=\sum _{i=0}^{\infty }(x(i{)}^{\top }Qx(i)+u(i{)}^{\top }Ru(i))$$

有限时域 MPC：

$$J_N=\sum _{i=0}^{N-1}(x(i{)}^{\top }Qx(i)+u(i{)}^{\top }Ru(i))+x(N{)}^{\top }Px(N)$$

1.2 稳定性问题

问题	稳定性保证
无限时域 LQR	✅ 自动保证（若 $(A,B)$ 能稳）
有限时域开环	⚠️ 需要额外条件
有限时域 MPC（滚动）	✅ 可证明（需要终端设计）

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二、无限时域 LQR 稳定性

2.1 稳定性定理

定理：对于无限时域 LQR，若 $(A,B)$ 能稳且 $(A,Q^{1/2})$ 可检测，则：

1. DARE 存在唯一半正定解 $P_{\infty }$
2. 最优控制律 $u^{\ast }=-K_{\infty }x$ 使闭环系统渐近稳定

2.2 证明要点

1. 最优值函数 $V(x)=x^{\top }{P}_{\infty }x$ 是 Lyapunov 函数
2. 沿最优轨迹： $$V(x(k+1))-V(x(k))=-x(k{)}^{\top }(Q+K_{\infty }^{\top }R{K}_{\infty })x(k)<0$$
3. 由 Lyapunov 稳定性定理，系统渐近稳定

2.3 关键特性

特性	说明
时不变控制律	$u^{\ast }(k)=-K_{\infty }x(k)$
全局稳定性	对任意 $x(0)\in {\mathbb{R}}^n$ 稳定
最优性	最小化无限时域代价
鲁棒性	良好的增益/相位裕度

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三、有限时域最优控制稳定性

3.1 开环有限时域问题

考虑开环有限时域最优控制（无滚动）：

• 给定 $x(0)$
• 求解最优序列 $U^{\ast }=\{u(0),\dots ,u(N-1)\}$
• 应用整个序列

问题：终端状态 $x(N)$ 可能不为零，甚至可能不稳定！

3.2 终端权重的影响

终端权重 $P$	终端状态 $x(N)$	稳定性
$P=0$	可能很大	❌ 不保证
$P\succ 0$	有界	⚠️ 依赖 $N$
$P=P_{\infty }$	$x(N)\to 0$（$N\to \infty$）	✅ 极限稳定

3.3 时变控制律

有限时域最优控制律是时变的：

$$u^{\ast }(k)=-K_{k}x(k)$$

其中 $K_k$ 由 Riccati 差分方程递推得到。

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四、滚动时域 MPC 稳定性

4.1 MPC 闭环机制

MPC 通过滚动时域执行将开环最优控制转化为闭环控制：

1. 在时刻 $k$ 求解有限时域问题
2. 仅实施第一步控制 $u(k)=u_{0|k}^{\ast }$
3. 在时刻 $k+1$ 重新求解

4.2 稳定性等价定理

定理：无约束 MPC 在以下条件下与无限时域 LQR 稳定性等价：

$$P=P_{\infty }(\text{DARE 解})$$

证明：

1. 由 02-最优值函数的单调递减性证明，$J^{\ast }(x)$ 是 Lyapunov 函数
2. $J^{\ast }(x)=x^{\top }{P}_{\infty }x$
3. 单调递减性保证渐近稳定

4.3 不同终端设计的对比

终端设计	稳定性	可行域	计算复杂度
终端等式约束 $x_N=0$	✅ 保证	小	高
终端不等式约束 $x_N\in {\mathcal{X}}_f$ + $P=P_{\infty }$	✅ 保证	中	中
无终端约束 + $P=P_{\infty }$	✅ 保证	大	低
无终端约束 + $P=0$	⚠️ 需 $N$ 足够大	大	低

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五、预测时域 $N$ 的影响

5.1 无限时域极限

当 $N\to \infty$ 时：

• 有限时域 MPC 趋近于无限时域 LQR
• 时变增益 $K_k\to K_{\infty }$
• 稳定性自动保证

5.2 有限时域条件

对于有限$N$，稳定性条件：

终端设计	$N$ 的要求
$P=P_{\infty }$	任意 $N\ge 1$
$P=0$	$N$ 足够大（覆盖系统响应时间）
终端等式约束	任意 $N\ge n$（能控性）

5.3 经验法则

对于无终端约束 ($P=0$) 的情况：

$$N\ge \frac{T_{\text{settling}}}{T_s}\approx \frac{3\sim 5}{|\ln (\rho (A))|}$$

其中 $\rho (A)$ 是 $A$ 的谱半径。

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六、有约束 MPC 的稳定性

6.1 约束的影响

约束 $x\in \mathcal{X}$，$u\in \mathcal{U}$ 的引入：

• 不改变稳定性证明的基本结构
• 但需要终端集${\mathcal{X}}_f$ 保证递归可行性

6.2 稳定性定理

定理：对于有约束 MPC，若：

1. 终端权重 $P=P_{\infty }$
2. 终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集
3. 初始状态 $x(0)$ 可行

则闭环系统渐近稳定，且所有约束得到满足。

6.3 吸引域 (Region of Attraction)

有约束 MPC 的稳定区域是可行域${\mathcal{F}}_N$：

• ${\mathcal{F}}_N=\{x\mid \exists U\text{ s.t. 约束满足}\}$
• ${\mathcal{F}}_N$ 随 $N$ 增大而增大
• ${\lim }_{N\to \infty }{\mathcal{F}}_N={\mathcal{O}}_{\infty }$（最大控制不变集）

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七、示例：不同时域长度对比

7.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],Q=I,R=0.1$$

开环系统不稳定（特征值 1, 1）。

7.2 仿真结果

$N$	终端权重	闭环稳定	备注
5	$P_{\infty }$	✅	最优响应
5	$P=0$	❌	发散
10	$P=0$	⚠️	临界稳定
20	$P=0$	✅	稳定但次优
∞	LQR	✅	最优

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八、总结

对比项	无限时域 LQR	有限时域 MPC
控制律	时不变 $u=-K_{\infty }x$	滚动优化
稳定性	自动保证	需终端设计
最优性	全局最优	次优（有限 $N$）
约束处理	❌ 无法处理	✅ 可处理
计算	离线解 DARE	在线优化

相关内容

• 终端设计影响见 03-终端设计对稳定性的影响
• 有约束 MPC 见 有约束 MPC

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本