左右轮独立受力模型与轮距效应分析

一、双轨模型的基本假设

1.1 与单轨模型的对比

特性	单轨模型	双轨模型
车轮表示	前后轴各一个等效轮	四个独立车轮
轮距	忽略（$t_w=0$）	显式建模（$t_f,t_r\ne 0$）
载荷转移	无法表示	可计算轴间及左右转移
驱动形式	等效单轮驱动	可区分 FWD/RWD/AWD
制动差异	忽略	可模拟左右制动力差
非线性	线性轮胎	可引入摩擦椭圆

1.2 双轨模型的自由度

完整双轨模型包含以下自由度：

自由度	符号	单位	说明
纵向速度	$v_x$	$m/s$	质心纵向速度
侧向速度	$v_y$	$m/s$	质心侧向速度
横摆角速度	$r$	$rad/s$	绕 $z$ 轴转动
车轮角速度	${\omega }_i$	$rad/s$	四轮独立 $(i=fl,fr,rl,rr)$

共 7 个自由度（不含纵向位置坐标）。

1.3 轮距的几何定义

graph TD
    subgraph 车辆俯视
    A[前轴] --> B[前轮距 $t_f$]
    C[后轴] --> D[后轮距 $t_r$]
    E[质心] --> F[前轴距离 $L_f$]
    E --> G[后轴距离 $L_r$]
    end

$$\begin{array}{rl}{t}_f& :\text{前轮中心距}\\ t_r& :\text{后轮中心距}\end{array}$$

典型值：

• 乘用车：$t_f\approx t_r\approx 1.5\sim 1.7\mathrm{m}$
• 赛车：$t_f>t_r$（前轮距更宽）

---

二、车轮坐标系的定义

2.1 车轮位置向量

在车身坐标系中，四轮质心位置：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_{fl}& =\left[\begin{array}{c}{L}_f\\ t_f/2\end{array}\right],{\mathbf{r}}_{fr}=\left[\begin{array}{c}{L}_f\\ -t_f/2\end{array}\right]\\ {\mathbf{r}}_{rl}& =\left[\begin{array}{c}-L_r\\ t_r/2\end{array}\right],{\mathbf{r}}_{rr}=\left[\begin{array}{c}-L_r\\ -t_r/2\end{array}\right]\end{array}$$

2.2 车轮速度计算

车轮中心的速度由刚体运动学给出：

$${\mathbf{v}}_i=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]+r\hat{\mathbf{k}}\times {\mathbf{r}}_i$$

展开得：

$$\begin{array}{rl}{v}_{x,fl}& =v_x-r\cdot \frac{t_f}{2}\\ v_{x,fr}& =v_x+r\cdot \frac{t_f}{2}\\ v_{x,rl}& =v_x-r\cdot \frac{t_r}{2}\\ v_{x,rr}& =v_x+r\cdot \frac{t_r}{2}\end{array}$$ $$v_{y,i}=v_y+r\cdot x_i$$

2.3 车轮侧偏角

考虑车轮转向角 ${\delta }_i$（仅前轮可转向）：

$${\alpha }_i={\delta }_i-\arctan \left(\frac{v_{y,i}}{v_{x,i}}\right)$$

小角度近似：

$${\alpha }_i\approx {\delta }_i-\frac{v_{y,i}}{v_{x,i}}$$

阿克曼转向几何

理想阿克曼转向时，内外轮转向角不同：

$$\cot {\delta }_o-\cot {\delta }_i=\frac{t_f}{L}$$

但实际车辆由于轮胎侧偏，采用修正的转向梯形。

---

三、轮胎力的独立计算

3.1 垂直载荷的分配

静态轴荷分配：

$$\begin{array}{rl}{F}_{z,f}^{\text{static}}& =\frac{L_r}{L}mg\\ F_{z,r}^{\text{static}}& =\frac{L_f}{L}mg\end{array}$$

左右轮静态分配（假设对称）：

$$F_{z,fl}^{\text{static}}=F_{z,fr}^{\text{static}}=\frac{1}{2}{F}_{z,f}^{\text{static}}$$

3.2 线性轮胎模型的双轨扩展

单轨模型：

$$F_{y,f}=-C_{\alpha f}{\alpha }_f$$

双轨模型（左右轮独立）：

$$\begin{array}{rl}{F}_{y,fl}& =-C_{\alpha ,fl}{\alpha }_{fl}\\ F_{y,fr}& =-C_{\alpha ,fr}{\alpha }_{fr}\end{array}$$

总前轴侧向力：

$$F_{y,f}^{\text{total}}=F_{y,fl}+F_{y,fr}$$

3.3 轮距对横摆力矩的贡献

左右轮侧向力差产生附加横摆力矩：

$$\Delta M_z=\frac{t_f}{2}(F_{y,fl}-F_{y,fr})+\frac{t_r}{2}(F_{y,rl}-F_{y,rr})$$

物理意义

即使左右轮侧向力大小相等，轮距也会产生横摆力矩。这是单轨模型无法捕捉的效应。

3.4 纵向力的独立表示

四轮独立纵向力：

$$F_{x,i}(i=fl,fr,rl,rr)$$

总纵向力：

$$F_x^{\text{total}}=\sum _i{F}_{x,i}$$

纵向力差产生的横摆力矩：

$$M_{z,\text{long}}=\frac{t_f}{2}(F_{x,fr}-F_{x,fl})+\frac{t_r}{2}(F_{x,rr}-F_{x,rl})$$

---

四、双轨动力学方程

4.1 侧向力平衡方程

$$m({\dot{v}}_y+r{v}_x)=\sum _i{F}_{y,i}\cos {\delta }_i+\sum _i{F}_{x,i}\sin {\delta }_i$$

展开（仅前轮转向）：

$$m({\dot{v}}_y+r{v}_x)=(F_{y,fl}+F_{y,fr})\cos \delta +(F_{x,fl}+F_{x,fr})\sin \delta +F_{y,rl}+F_{y,rr}$$

4.2 横摆力矩平衡方程

$$I_z\dot{r}=\sum _i({\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{F}}_i)\cdot \hat{\mathbf{k}}$$

展开：

$$\begin{array}{rl}{I}_z\dot{r}=& L_f(F_{y,fl}+F_{y,fr})\cos \delta -L_r(F_{y,rl}+F_{y,rr})\\ & +L_f(F_{x,fl}+F_{x,fr})\sin \delta \\ & +\frac{t_f}{2}(F_{y,fl}-F_{y,fr})\cos \delta +\frac{t_f}{2}(F_{x,fr}-F_{x,fl})\sin \delta \\ & +\frac{t_r}{2}(F_{y,rl}-F_{y,rr})+\frac{t_r}{2}(F_{x,rr}-F_{x,rl})\end{array}$$

4.3 与单轨模型的对比

单轨模型方程：

$$\begin{array}{rl}m({\dot{v}}_y+r{v}_x)& =F_{y,f}\cos \delta +F_{y,r}\\ I_z\dot{r}& =L_f{F}_{y,f}\cos \delta -L_r{F}_{y,r}\end{array}$$

双轨模型多出的项：

1. 轮距引起的横摆力矩 $\frac{t}{2}\Delta F_y$
2. 纵向力差引起的横摆力矩
3. 左右轮载荷转移效应

---

五、轮距效应的分析

5.1 轮距对稳态转向特性的影响

稳态转向时，横摆角速度增益：

$$G_r=\frac{v_x}{L(1+K{v}_x^2)}$$

不足转向梯度 $K$ 在双轨模型中修正为：

$$K_{\text{dual}}=K_{\text{single}}+\Delta K_{\text{track}}$$

其中轮距修正项：

$$\Delta K_{\text{track}}=\frac{m}{L}\left(\frac{t_f^2}{4C_{\alpha f}^{\text{eff}}}+\frac{t_r^2}{4C_{\alpha r}^{\text{eff}}}\right)$$

物理意义

轮距效应总是使车辆趋向不足转向，但影响较小（典型值 $\Delta K\approx 0.0001\sim 0.0005rad/(m/{\mathrm{s}}^2)$）。

5.2 轮距对横摆阻尼的影响

横摆阻尼系数：

$$c_{\psi }=\frac{C_{\alpha f}{L}_f^2+C_{\alpha r}{L}_r^2}{v_x}+\frac{C_{\alpha f}{t}_f^2+C_{\alpha r}{t}_r^2}{4v_x}$$

轮距项的贡献：

$$\frac{C_{\alpha }{t}^2}{4v_x}\approx 5\sim 10\%\text{ 的总阻尼}$$

5.3 左右轮载荷转移

侧向加速度引起的垂直载荷转移：

$$\begin{array}{rl}\Delta F_{z,f}& =\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{L}\cdot \frac{k_{\varphi ,f}}{k_{\varphi ,f}+k_{\varphi ,r}}\cdot \frac{1}{t_f}\\ \Delta F_{z,r}& =\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{L}\cdot \frac{k_{\varphi ,r}}{k_{\varphi ,f}+k_{\varphi ,r}}\cdot \frac{1}{t_r}\end{array}$$

其中：

• $h_{\text{CG}}$：质心高度
• $k_{\varphi ,f},k_{\varphi ,r}$：前后悬架侧倾刚度

5.4 载荷转移对侧偏刚度的影响

轮胎侧偏刚度随垂直载荷变化：

$$C_{\alpha }(F_z)=C_{\alpha 0}{\left(\frac{F_z}{F_{z0}}\right)}^n$$

典型指数 $n\approx 0.8\sim 0.9$。

左右轮载荷转移导致有效侧偏刚度降低：

$$C_{\alpha }^{\text{eff}}=\frac{1}{2}\left[C_{\alpha }(F_{z0}+\Delta F_z)+C_{\alpha }(F_{z0}-\Delta F_z)\right]<C_{\alpha }(F_{z0})$$

---

六、数值示例

6.1 车辆参数

参数	符号	数值
整车质量	$m$	$1500\mathrm{kg}$
轴距	$L$	$2.7\mathrm{m}$
质心到前轴	$L_f$	$1.1\mathrm{m}$
质心到后轴	$L_r$	$1.6\mathrm{m}$
前轮距	$t_f$	$1.6\mathrm{m}$
后轮距	$t_r$	$1.55\mathrm{m}$
质心高度	$h_{\text{CG}}$	$0.55\mathrm{m}$
前轮侧偏刚度	$C_{\alpha f}$	$60000N/rad$
后轮侧偏刚度	$C_{\alpha r}$	$55000N/rad$
横摆转动惯量	$I_z$	$2500\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$

6.2 稳态转向特性对比

模型	$K(rad/(m/{\mathrm{s}}^2))$	$v_{\text{char}}(km/h)$
单轨模型	$0.0060$	$46.5$
双轨模型（含轮距）	$0.0063$	$45.3$
差异	$+5\%$	$-2.6\%$

6.3 横摆阻尼对比

模型	$c_{\psi }(\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot s/rad)$ ($v_x=80km/h$)
单轨模型	$3850$
双轨模型	$4120$
差异	$+7\%$

6.4 载荷转移计算

在 $a_y=0.5g$ 时：

$$\begin{array}{rl}\Delta F_{z,f}& \approx 180\mathrm{N}\\ \Delta F_{z,r}& \approx 200\mathrm{N}\end{array}$$

有效侧偏刚度降低：

$$\begin{array}{rl}{C}_{\alpha f}^{\text{eff}}& \approx 58200N/rad(-3\%)\\ C_{\alpha r}^{\text{eff}}& \approx 53400N/rad(-3\%)\end{array}$$

---

七、双轨模型的应用场景

7.1 适用工况

工况	单轨模型	双轨模型
小侧向加速度转向	✅ 精确	✅ 精确
稳态回转	✅ 近似	✅ 精确
紧急避障	⚠️ 中等	✅ 精确
左右不对称制动	❌ 无法模拟	✅ 精确
扭矩矢量分配	❌ 无法模拟	✅ 精确
单侧车轮打滑	❌ 无法模拟	✅ 精确
极限操纵	⚠️ 偏差大	✅ 较精确

7.2 计算复杂度对比

模型	状态变量数	计算时间（相对）
单轨模型	2 ($v_y,r$)	1.0×
双轨模型（刚性）	4 ($v_y,r,{\omega }_f,{\omega }_r$)	2.5×
双轨模型（完整）	7 ($v_x,v_y,r,{\omega }_{fl},{\omega }_{fr},{\omega }_{rl},{\omega }_{rr}$)	4.0×

---

八、相关内容

• 02-准静态平面载荷转移理论推导
• 01-轮胎非线性特性与摩擦椭圆约束的全面引入
• 02-完整状态向量定义与多输入多输出方程构建