侧向平动与横摆转动自由度的引入逻辑

一、从运动学到动力学的扩展

1.1 运动学模型的局限

单轨运动学模型仅描述几何约束下的位姿演化：

$$\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}v\cos \psi \\ v\sin \psi \\ \frac{v}{L}\tan \delta \end{array}\right]$$

局限：

• 未考虑力的作用
• 无法预测侧向加速度效应
• 无法分析稳定性

1.2 动力学模型的核心思想

引入牛顿第二定律，建立力与运动的关系：

$$\begin{array}{rl}m{a}_y& =\sum F_y\\ I_z\dot{r}& =\sum M_z\end{array}$$

二、自由度的选择

2.1 完整车辆的自由度

完整车辆模型有 6 个刚体自由度：

自由度	变量	单轨模型处理
纵向平动	$x,v_x$	假设 $v_x$ 恒定或已知
侧向平动	$y,v_y$	✅ 保留（核心）
垂向平动	$z,v_z$	❌ 忽略（路面约束）
横摆转动	$\psi ,r$	✅ 保留（核心）
侧倾转动	$\varphi ,p$	❌ 忽略（平面假设）
俯仰转动	$\theta ,q$	❌ 忽略（平面假设）

2.2 二自由度模型的假设

假设	说明	后果
纵向速度恒定	$v_x=\text{const}$	解耦纵向动力学
小角度	$\delta ,\beta ,\psi \ll 1$	线性化方程
无侧倾/俯仰	$\varphi =\theta =0$	忽略载荷转移
左右对称	左右轮特性相同	可等效为单轮

2.3 状态变量的定义

二自由度模型的状态变量：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{v}_y\\ r\end{array}\right]$$

或等价地用质心侧偏角：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}\beta \\ r\end{array}\right],\beta =\frac{v_y}{v_x}$$

三、侧向平动自由度的引入

3.1 侧向运动的牛顿方程

侧向平动自由度由牛顿第二定律描述：

$$m{a}_y=\sum F_y$$

3.2 侧向加速度的表达

在车身坐标系中，侧向加速度包含科里奥利项：

$$a_y={\dot{v}}_y+v_{x}r$$

科里奥利加速度

$v_{x}r$ 项源于车身坐标系的旋转，是速度 $v_x$ 与角速度 $r$ 的耦合项。

3.3 侧向力的来源

侧向力由前后轮侧偏角产生：

$$\sum F_y=F_{yf}+F_{yr}$$

线性轮胎模型：

$$\begin{array}{rl}{F}_{yf}& =-C_{\alpha f}{\alpha }_f\\ F_{yr}& =-C_{\alpha r}{\alpha }_r\end{array}$$

四、横摆转动自由度的引入

4.1 横摆转动的欧拉方程

绕 $z$ 轴的转动由欧拉方程描述：

$$I_z\dot{r}=\sum M_z$$

4.2 横摆力矩的来源

横摆力矩由前后轮侧向力对质心的力矩产生：

$$\sum M_z=L_f{F}_{yf}-L_r{F}_{yr}$$

其中：

• $L_f$：质心到前轴距离
• $L_r$：质心到后轴距离

4.3 横摆转动惯量

$$I_z={\int }_V\rho (\mathbf{r})(x^2+y^2)dV$$

典型值：

• 小型轿车：$I_z\approx 1500\sim 2000\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
• 大型 SUV：$I_z\approx 2500\sim 3500\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$

五、耦合效应的分析

5.1 侧向 - 横摆耦合

侧向平动和横摆转动通过以下方式耦合：

耦合路径	说明
运动学耦合	$a_y={\dot{v}}_y+v_{x}r$
力耦合	前后轮侧偏角依赖 $v_y$ 和 $r$
力矩耦合	侧向力产生横摆力矩

5.2 状态方程的耦合形式

完整状态方程（线性化后）：

$$\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& I_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{v}}_y\\ \dot{r}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_y\\ r\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right]\delta$$

5.3 特征模态

系统有两个特征模态：

模态	特征	物理意义
侧向模态	主要与 $v_y$ 相关	侧向平移振动
横摆模态	主要与 $r$ 相关	横摆振荡

六、模型简化与假设验证

6.1 纵向速度恒定的合理性

工况	速度变化	假设有效性
稳态转向	${\dot{v}}_x=0$	✅ 精确
缓加速/减速	${\dot{v}}_x<1m/{\mathrm{s}}^2$	✅ 近似有效
紧急制动	${\dot{v}}_x>5m/{\mathrm{s}}^2$	❌ 需耦合纵向

6.2 小角度假设的范围

角度	小角度近似误差
$5^{\circ }$	$\sin \theta \approx \theta$，误差 $<0.1\%$
$10^{\circ }$	误差 $<0.5\%$
$20^{\circ }$	误差 $\approx 2\%$
$30^{\circ }$	误差 $\approx 5\%$

6.3 忽略侧倾/俯仰的影响

效应	侧倾影响	俯仰影响
载荷转移	改变轮胎侧偏刚度	改变前后轴载荷分配
外倾角变化	产生外倾推力	-
空气动力学	影响气动载荷	影响气动俯仰力矩

七、相关内容

• 02-小角度线性化假设与轮胎力简化理论
• 01-连续时间位姿状态空间的严格构建