一、线性化的动机
1.1 非线性动力学方程
完整的平面动力学方程是非线性的：
- 三角函数项：
- 轮胎力非线性： 为饱和曲线
- 速度耦合项：
1.2 线性化的优势
线性模型可以：
- 应用线性系统理论（频域分析、稳定性判据）
- 获得解析解
- 设计线性控制器（LQR、PID）
- 进行模态分析
二、小角度假设
2.1 角度的小量假设
假设以下角度为小量：
| 角度 | 符号 | 假设范围 | 近似 |
|---|---|---|---|
| 转向角 | |||
| 质心侧偏角 | |||
| 侧偏角 | 线性轮胎模型 | ||
| 横摆角 | 任意（仅用于坐标变换） | - |
2.2 三角函数的线性化
泰勒展开（保留一阶项）：
2.3 小角度假设的物理意义
小角度假设等价于：
- 车辆在小侧向加速度下行驶（）
- 轮胎工作在线性区
- 无极限操纵工况
三、轮胎力的线性化
3.1 非线性轮胎模型回顾
魔术公式：
3.2 线性轮胎模型
小侧偏角下简化为：
其中 为侧偏刚度。
3.3 线性化的误差分析
| 侧偏角 | 线性模型误差 |
|---|---|
线性区范围
通常认为 时线性模型精度可接受。
四、侧偏角的运动学线性化
4.1 前轮侧偏角
前轮侧偏角的精确表达式：
小角度线性化（）：
4.2 后轮侧偏角
后轮侧偏角的精确表达式：
线性化：
4.3 用侧偏角表示
引入质心侧偏角 ：
五、科里奥利项的处理
5.1 侧向加速度中的耦合项
其中 是科里奥利加速度。
5.2 恒定车速假设
假设 ，则：
- 作为参数出现在方程中
- 无需纵向动力学方程
5.3 小扰动假设
假设车辆在某个工作点附近运动：
忽略高阶小量：
六、线性化后的力与力矩
6.1 侧向力
6.2 总侧向力
6.3 总横摆力矩
七、线性化模型的局限性
7.1 适用范围
| 工况 | 侧向加速度 | 模型适用性 |
|---|---|---|
| 正常驾驶 | ✅ 高精度 | |
| 紧急变道 | ⚠️ 中等精度 | |
| 极限操纵 | ❌ 偏差显著 |
7.2 非线性效应的忽略
| 效应 | 线性模型处理 | 实际物理 |
|---|---|---|
| 轮胎饱和 | 无 | 力趋于摩擦极限 |
| 载荷转移 | 无 | 侧偏刚度变化 |
| 大角度转向 | 无 | 几何非线性 |
7.3 扩展方法
当需要处理非线性工况时：
- 增益调度（Gain Scheduling）：不同 使用不同线性模型
- 分段线性化：多个工作点线性化
- 引入非线性轮胎模型